[注：下文是群邮件内容，标题是新拟的（改了一下）]

天才照亮人心，庸才遮挡阳光。

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(接前) 第一部分 第三段.

If G is a group and M a G-module we will let Mᴳ and MG denote respectively the invariants and coinvariants of G on M.

---- 若 G 是群, M 是 G-模块, 则令 Mᴳ 和 MG 分别表示 G 在 M 上的 不变量及共不变量.

---- 暂定 G 为主角. 图解:

G       Mᴳ

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M       MG

评论：在图中 G 和 M 都出现三次.(主角也可能是M).

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If ρ is a representation of G into the automorphisms of some abelian group we shall let Vρ denote the underlying G-module.

---- 若 ρ 是 G 映到某阿贝尔群的自同态的表示, 则令 Vρ 指代背后的 G-模块.

---- “automorphisms of some abelian group” 是指由某阿贝尔群 Ga 的好些个自同态构成的集合, 不妨记作 Aa.

---- 暂定 Vρ 为主角. 图解:

Vρ      Aa

.        

G       Ga

注: ρ 是 G 到 Aa 的同态映射(对角线方向), 而Ga 是 Aa 的基础集合.(原作没有明显写出 Ga 和 Aa, 而是蕴含于 Vρ ).

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If H is a normal subgroup of G then we shall let ρᴴ and ρH denote the representation of G/H on respectively Vᴴρ and Vρ,H.

---- 若 H 是G的正规子群, 则令 ρᴴ and ρH 指代 G/H 分别在  Vᴴρ 和 Vρ,H 上的表示.

---- 暂定 G/H 为主角. 图解:

G/H    Vᴴρ

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Vρ      Vρ,H

注：第二句说, 有了G, 就会有 Vρ. 后者是 G-module. 而第一句说, 若 M 是 G-module, 则 Mᴳ and MG 分别表示G 在 M 上的...

---- 对照第一句和第三句的图解, Vρ 也是 G/H-module.( Vρ 是 G-module =?=> Vρ 是 G/H-module).

---- 若此，四角图右侧的上下标 H 都该写成 G/H.(原作出于简化而用了H ?).

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评注：在一段话中, 最后一句往往是重点所在.

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小结:  G-module 以及 G/H-module.