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最近想到几个问题：如何更快地学习高端数学？

如何更有效地积累？

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注：调整了边框的宽度.

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学习笔记(接前)。引言部分，1.8(b)。

Here m⊂Kᵒ is the subset of topologically nilpotent elements.

---- m 是拓扑幂零元(构成的)子集.

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Part (iv) implies that Hi(X, Ox) = 0 for i > 0, which gives Tate's acyclicity theorem in the context of perfectoid spaces.

注：Part (iv) 说上同调群Hi(X, O⁺x) 是 m-张量(i>0).

---- 这蕴含 Hi(X, Ox) = 0 for i > 0.

---- 即在完空间语境中给出了Tate的无回路定理.

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However, it says that this statement about the generic fibre extends almost to the integral level, in the language of Faltings's so-called almost mathematics.

---- 但是，在Faltings的所谓几乎数学的语言里，该有关一般纤维的陈述几乎扩展到整数层面.

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In fact, this is a general property of perfectoid objects: Many statements that are true on the generic fibre are automatically almost true on the integral level.

---- 事实上，这是完形对象的一般性质：许多在一般纤维上真的陈述都自动地在整数层面几乎真。

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评论：对照了某类命题在完空间语境与Faltings语境的微妙不同，似体现出“perfectoid”的内涵和优势。

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Using the theorem, one can define general perfectoid spaces by gluing affinoid perfectoid spaces X = Spa(R, R⁺).

---- 使用该定理，可以用胶粘仿完空间X=Spa(R, R⁺)的办法来定义一般的完形空间。

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We arrive at the following theorem.

（待续）

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小结：定理1.8给出了完仿空间的基本性质。

​符号大全、上下标.|| 常用：↑↓→←↦∞π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪∩⊆⊇⊂⊃≤≥⌊ ⌋ ⌈ ⌉≠ᵒ⁺⁻⁰¹²³ᵈ ₀₁₂₃ᵢ

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温习：1.8(a)

..(R, R⁺) ~ X

......|..........|

(Rᵇ, Rᵇ⁺) ~ Xᵇ

1. X ≌ Xᵇ .(X 是完仿联系的Huber空间).

2. 有理子集~>完仿~>倾斜.

3. Ox 和 O⁺x 是沓.

4. 上同调群Hi(X, O⁺x) 是 m-张量(i>0).

​浓缩：

---- K°/p  ≌ Kᵇ°/p.(para.3a)

---- Kᵇ = lim<K, x ↦x^p.(para.3b)

----  (x)d --> (x#)d

.........↑..分裂域..↓

      [Kᵇ] ~>  [K]c

注： x:=ak^δn.(para.3c)

---- ndv(1)~K~(Φ)=Kᵒ/p.(Def.1.2)

---- Kᵇ(p)~Fontaine~K.

---- {​K} ≌ {Kᵇ}. (Th1.3)

---- A&sup1;Kᵇ ≌ lim<A&sup1;K (T↦Tᵖ). (Claim1.4)

---- X(K)~Xᵃᵈ(K)~|Xᵃᵈ|.

----  |(A&sup1;Kᵇ )ᵃᵈ| ≌ lim<|(A&sup1;K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ). (Th1.5)

---- 完域 K-代数 R(K) 是指：Banach K-代数，Rᵒ 有界，(Φ) = Rᵒ/p. (Def.1.6)

---- C ≌ Cᵇ  (Def.1.7a)

---- X = Spa(R, R⁺)(Def.1.7b)