今日学院:数学科学学院(浙江大学)。新闻。|| 新闻+ || 符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .
“做数学要有一股傻劲和拼劲。”---- 前两段构造了态射 π.
---- 即 Ox(A) 到 Opd(1) 的满射.
---- 第三段揭示基本对应关系.
---- 得到公式:π⁻¹{z} = ∩Rᵢ.
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第四段的任务:证明 π is étale over z.
---- z 是 Opd(1) 中超平面 Hᵢ 的交.
---- 或者用公式表示:z = ∩Hᵢ =(1:0:...:0).
---- 超平面 Hᵢ 也是Opd(1) 中的 zero divisor.
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证明的要点:
1. 从 π⁻¹{z} 出发.
2. 从中任取点 y.
3. 恰好且显然 y∈ ∩Rᵢ.
4. Rᵢ “坐” 在 ∩Rᵢ 的点上.
5. 即 Rᵢ “坐” 在 y 上.
6. {αᵢ} 在 Oy 内的像给出 y 处的局部参数集.
7. {tᵢ} 在 Oz 内的像给出 z 处的局部参数集.
8. 6,7 ==> π is étale at y. (根据Lem2.21*). 9. π is étale over z.
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注释:
4. “坐” 是指“smooth and intersect transversely”.
---- 原作未具体说明,推测是基本知识.
5, 6. 5 ==> 6.
---- 原作未具体说明.
6, 7. 这里是考虑了一个“commutative diagram”:
H⁰(Ox(A)) <---- H⁰(Opd(1))
↓ ↓
Oy <---- Oz
---- 本来 π 是 Ox(A) 到 Opd(1) 的映射.
---- 原作又引入了H⁰, 作用到上述两个集合.
---- 这两个集合在H⁰下的像成了反向对应.
---- 其中,Oy 和 Oz 的来由未作明显说明(?).
考虑上述“commutative diagram”的“基形式”:
H⁰{αᵢ} <---- H⁰{tᵢ}
↓ ↓
[ αᵢ ]y <---- [ tᵢ ]z 其中,
[ αᵢ ]y 表示“the images in Oy of the sections α1...αd”.
[ tᵢ ]z 表示“the images in Oz of the sections t1... td”.
---- 恰好,[ αᵢ ]y 和 [ tᵢ ]z 给出了相应的局部参数集.
(原作没有方括号记号,这里方便起见引入).
9. 原作未作推导,直接得出此结论(?).
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小结:第四段温习完毕.
---- 此段证明可看做 对 z-核 的发掘.
---- 表现为“π is étale over z”.