今日学院:数学系(北京交大)。新闻。|| 符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .
需要什么就假设什么。---- 第一段是从条件 A - Si “变”出个 Dᵢ,将它“作用”到Sᵢ,得到Rᵢ.
---- “作用” 是指做加法:Rᵢ:= Dᵢ(Sᵢ) = Dᵢ + Sᵢ.
---- 然后将 (X, ΣSᵢ) 替换为 (X, ΣRᵢ), 保持属性“log smooth”, “禁”.
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在上面的背景下,第二段一上来就说:
---- Rᵢ 是 Ox(A) 的某个 “global section” αᵢ 的 “zero divisor”.
---- 可以看出,Ox(A) 与 (X, ΣRᵢ) 有密切的关系.
---- 确实,证明的第一段也提到 Rᵢ ~ A.
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评论:只要有X 和 A,就有Ox(A),其中又有“global section”、“zero divisor”.
---- 这里凑巧的是 Rᵢ 与 Ox(A) 的关系,特别是 Rᵢ 作为zero divisor.
---- 为什么不是 Sᵢ? 因为 Sᵢ 与 A 没有关系.
---- 换句话说,第一段是为这个关系作准备.
---- 为何命题不直接从 Rᵢ 开始(即不要Si)?
---- Sᵢ 还得要,它是通过“形式对应原则” 从结论反推出来的.
---- 这样就想到对 Sᵢ 做“改造”(如第一段所做).
---- 换句话说,“附加3” 是在此背景中构造出来的.
(果然,需要什么就假设什么 —— 这是个原则)
---- 这就拎清了“附加3”的来由.
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给序列 {Rᵢ} (i=1...d) 里添加一个R₀(通过设 α₀)
---- 满足:(X, Σ₀Rᵢ) log smooth, ∩₀Rᵢ = ∅.
---- 后果:α₀...αd 没有共同的消失点.
---- 连锁:α₀...αd 定义态射 π: X --> lPᵈ 使得:
---- Ox(A) ≃ π*Opd(1);
---- αᵢ --> tᵢ. (i=0,...d).
评论:原作没有提到文献,看不出如何得到.
---- 命题开头给出过[19, Th2].也许答案在那里.
---- 标红的部分该是关键.
---- R₀, α₀ 在后面的段落没有用到.
问题:log smooth 起到什么作用?
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读到这里可以猜测:
---- 命题的“实际起点” 是 Ox(A) ≃ π*Opd(1).
---- 即假设有这么个关系,并让 π 待定.
---- 换句话说,认知的起点是一回事,逻辑的起点是另一回事.
---- “逻辑”是指命题的形式和证明的路线.
评论:从“待定”思想出发
---- 是要在Ox(A) 和 Opd(1) 之间建立对应关系。
---- 即在两者的 “global section” 之间建立对应。
---- 证明的关键点在于,构造 Ox(A) 的 global sections 使其没有共同的消失点(这是“方”的一种形式),这就涉及到 zero divisors (即“消失点”)。
---- 另一方面,按照形式对应原则,X 这边要有 Si 与 Opd(1) 中的超平面 Hi 对应。
---- 恰巧,可通过 A - Si构造出zero divisors (即 Rᵢ).
---- 可能,构造 zero divisors 是已有的技巧。
---- 为了深入理解,须了解“zero divisor”的定义。
注:书上有“zero section” 但未见“zero divisor”。
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第二段关于“有限”的证明很简略,概括为“A-ncc-sf”。
---- 其中的缘由待考。
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小结:初步猜测出命题的“实际起点”。
---- 通过全文,Ox(·) 出现很少,而且都不在叙述层面。
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现在希望了解 Ox(A) 的定义:---- 既然文章里没有解释,说明是基本概念。
Ox(D)
- 1. If D is an effective Cartier divisor on X, then it is the inverse of the ideal sheaf of D.
- 2. Most of the times, Ox(D) is the image of D under the natural group homomorphism from the group of Cartier divisors to the Picard group Pic(X) of X, the group of isomorphism classes of line bundles on X.
- 3. In general, Ox(D) is the sheaf corresponding to a Weil divisor D (on a normal scheme). It need not be locally free, only reflexive.
- 4. If D is a ℚ-divisor, then Ox(D) is Ox of the integral part of D.
---- 看了上面的解释,暂时没概念。一般而言,抽象数学中,概念摞概念,反而没了概念。
---- 然后在那个页面上搜“global section”,得:
---- 看上去,global sections 有点像“基”那样,可以 “span” 出整个集合。
---- 既然原作用到“global sections”,该是从“sheaf”的角度谈论 Ox(A)。
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上面关于Ox(D)的第2条可以理解:
---- 设 Gc 是 “group of Cartier divisors”.
---- 设 Pic(X) 是 “Picard group”.
---- 两个群之间建立同态,h: Gc --> Pic(X).
---- 再拿 h 作用到 D,即 h: D --> h(D).
---- Ox(D) 就是上面的像 h(D).
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注:另见 Ch.8, An invitation to Algebraic Geometry, Karen E. Smith et al.(2000).