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数学命题的魅力在于“巧合性”。

已有 2146 次阅读 2019-2-8 18:21 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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本期开始分组发送邮件，搭载数学类学院等链接。

今日学院：数学与统计学院（郑州师范学院）。新闻。|| 新闻+ || 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

数学命题的魅力在于“巧合性”。

(接上回♙) 再次温习：命题5.2的叙述。

---- 条件中的主角图示如下：

A Bj ♖ ♘

. \

X Sᵢ ♔ ♗

---- 按顺时针对应：王侯将相。

---- Sᵢ 和 Bj 是分量代表。

---- Sᵢ 求和得到 “相”：Λ = ΣSᵢ.

---- “相”通常由 B 表示，但这里发生了“变故”。

---- B 放到了“将”位：B = ΣbjBj.（发配充军了？）

---- 放在“将”位的对象通常是“非负”。

---- “相”和“将”通常不用分量表达式。

---- 原作写出了分量，暗示着要深入到分量层面。

---- “侯” 通常用字母 A 或 M 表示。

---- 通常“侯”要么“ample”，要么“very ample”。

---- “侯” 和 “相” 经常做减法。

---- 这里减法深入到了分量层面：A - Sᵢ.

---- 做减法的结果继承 “侯” 的属性。

评论：以上通过“看图说话”介绍主角和若干规律。

现在写出

1）主配置：(X, Λ)，属性是 “pls”。

---- pls 是缩写： projective log smooth。

---- pls 代表的数学内容暂时不予必追究。

2）副配置：B≥0. 属性是“lR-divisor”。

---- 原作其它地方也会出现“lR-Cartier lR-divisor”。

---- 后者限定性更强。

评论：命题叙述中用“Let”设置的条件称作“配置”。

---- 一般会有“主”“副”两个配置。

---- 前者往往是某种 “pair”，后者是某种 “divisor”.

接着写出

a）附加1：x∈∩Si.

---- 此条件源于“形式对应原则”（参上回*）。

b）附加2：Supp B 不含 “stratum”, x 或除外.

---- “stratum” 是“当权”配对的某种“点”。

---- 此条件也是源于形式对应原则（参约束4）。

c）附加3：A 和 A - Si 皆 “very ample”.

---- 此条件的来由见前述解读（第一段黑体）。

---- A - Si 可看做某种算子，作用于“pair”。

---- “侯” 和 “相” 组合起来，往往预示“变故”。

---- 此条件在整个证明中扮演“发动机”的角色。

评论：命题中“Assume” 引出的条件统称“附加”。

以上条件得出

结果：存在有限态射 π: X --> lPᵈ = Projk(t₀,...,td).

---- 将抽象对应到具体，有“表示论”的味道。

---- 一切映射，都是“表示”。反之亦然。

上述结果的约束条件

1）约束1：π(x) = z:= (1:0...:0).

---- 从证明中知道，z = ∩Hᵢ.

（即 z 是lPᵈ中1~d超平面的交点）

---- 从条件中知道，x∈∩Si.

---- 这样，x 与 z 的对应很“自然”。

2）约束2：π(Si) = Hᵢ.

---- 参上条。

评论：实际情况可能是，先有“约束”，后构造出“附加”条件。一般而言，作者该是从希望的结果出发寻找适当的假设。愿望总会比实现它的假设条件更早地出现在原作的头脑之中。可以猜测，“Assume” 引导出的条件，多半是按照期望的结果反推出来的。而在整个命题的构造过程中，假设条件和结果及约束条件之间存在多次调整，从而“演化”出命题的最终形式。依赖于上下文，最初希望的结果及约束也可能较模糊，是在演化中逐渐明确的。

3）约束3：π 在 z 的领域上 étale.

---- 这一条与normalisation有关。

---- 具体而言， étale 与 Opd(1) 相联系。

4）约束4：Supp B 不含 π⁻¹{z}, x 或例外.

---- 这一条对应“附加2”。

---- 暂时不清楚为何要有这一条。

---- 也不清楚这与 normalisation 何干。

5）约束5：degπ = Aᵈ; degHiC ≤ degAB.

---- 暂不清楚这一条的意图（后文该会用到）。

---- 证明中用到 lPᵈ, H, π，似乎是normalisation的附带结果（而不是“约束”）。

---- 除了用到 A（部分的“附加3”）, 看不出对应到其它假设。

评论：命题5.2温习暂告段落。