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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。

今日学院：数学科学学院（厦门大学）。新闻。新闻+

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(接上回#) 证明的温习：Step7

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Let Rs:= Bs^+ - Bs...

---- Step3确认了Bs^+ 的存在性。

---- 现在希望找出Rs的构造，从而得到Bs^+的构造。

---- Rs 的下标 s 是连体（第一次出现且单独出现）。

---- Rs 或 Step 8 的 R 赋予汉字标签 “仁”。

（Step8的最后，Rs的下标实现分离，即Rs=R|s）。

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评论：Bs^+ 的意思是，它比 Bs 多出点东西。

---- 假设多出来的是什么构造不知道，给个记号Rs。

（定理的结论里有具体构造，但这里要推导出来）

---- Bs 的下标s是分离状态，即：Bs = B|s。

---- 但Bs^+ 的下标 s 是 连体 状态。

（早前误认为是分离状态）

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...which satisfies -n(Ks + Bs) ~ nRs ≥ 0.

---- 这是从n-complement 的定义*，经过简单运算得到的（参见Step7）。

---- 忽然想到，给对象乘以n，这是一种方法！

---- 给这种方法一个名称 “乐”。

---- 上面的 Ks 和 Bs，下标s都是分离的（参Step3）。

---- 这就暗示，符号“~”右边的Rs，其下标也“该”分离。

（Step8的任务是分离Rs的下标）

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Letting Rs' be the pullback of Rs, we get

nN'|s' = (nM' - n(Kx' + B'))|s' ~ -n(Kx' + B')|s'

= -nψ*(Ks + Bs) ~ nRs' ≥ 0.  

---- 前半句的是说 Rs' 是 Rs 的带撇版。

（不用管 “pullback” 的意思）

---- Rs' 的下标 s' 是连体 (即 R和s'看做整体)。

（严格来说，主字母和下标都该带撇：简省写法）

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评论：第一个等号左边体现了两个方法：

---- 给对象乘以n，这是“乐(yue)”法（参前段）。

---- 将对象限制在s'上，这是“罩”法（参Step3）。

---- 这里的对象 N' 是“参”的带撇版。

（“参”就是 “M - (Kx + B)”，贯穿整个证明）。

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评论：第一个等号右边系作用后果（简单运算）。

---- “罩”的作用是通过等价关系“~”体现的。

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评论：第二个等号也是简单运算。

---- -nψ*(Ks + Bs) 是说，它是 -n(Ks + Bs)的带撇版。

---- 它等价于 nRs 的带撇版（参见第三段）。

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以上推导的结果：nN'|s' ~ nRs' ≥ 0.

---- 至此，Step7的“前戏”做完了（只是准备工作）。

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Then

(L' + P')|s' = (nΔ' - \(n+1)/Δ' + nN' + M' + P')|s'

~ Gs':= nΔs' -\(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'

where Δs' = Δ'|s' and Ps'=P'|s'.

---- 第一个等式，只是把 L' + P' 限制到S'上。

（这是Step7的“主运算”）。

---- 第二个式子，只是用 nRs' 等价地替换掉 nN'|s。

---- 注意，M' 消去了（M'|s' ~ 0）。

---- 第二个式子整个地定义成一个对象 Gs'，有深意，也是Step7的“输出”。

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评论：将某个式子或对象限制到 S 或 S' 上，目的是过滤掉 M 或 M'。

---- 这种效用源于定理的条件（体现为硬性规定）。

---- 希望看到自然地发生这类效用。

---- 比如，找一类 M 和 S，使得 M|S ~ 0。 

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加评：Δs' 和 Ps' 的下标 s' 都是分离状态（第一次出现时伴随着说明，见 “where...” 其中的等式是定义的性质）。

---- 但 Gs' 的下标 s' 暂时是连体状态。

（下方会“推导出”分离状态）。

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以上推导的结果：(L'+P')|s' ~ Gs'.

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接着，原作证明了 Gs' 非负。

---- 反证法结合系数分析法（参 Step7）。

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... by Step 6, L' + P' ~ G' for some effective divisor G' whose support does not contain S' and G'|s' =Gs'.

此句包含两个结果：

---- 1. G' 的存在性。（理由不详）。

---- 2. “推导出” Gs' 的下标 s' 为分离状态。 

2a) 承认 L'+P' ~ G' 的前提下，自然有：(L' + P')|s' ~ G'|s'.

2b) 另一方面，(L' + P')|s' ~ Gs'.

2c) 对照 2a)和 2b)，有：G'|s' = Gs'.

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评论：L' + P' ~ G' 可从 Step 6 得到，但原作放到Step 7 的最后一句说这个事情，轻描淡写。

---- 这种情况该是特意安排。

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小结：Step 7 概括为“策”（涉及 “乐” 和 “罩” 两个方法，以及“参”和“局”两个已有对象，和新定义的对象 “仁”）。

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最近感到， “~” 和 “divisor” 是基本概念，而且非常有用。待学习。 

Leonhard Euler  Carl Friedrich Gauss  Grothendieck   

Glossary (AG) 

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第一轮读写链接（按目录顺序）

Abstract 8/4

Introduction

  Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5

  Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6

  Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7

  Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8

  Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9

  Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9

  Jordan property of Cremona groups 8/10

  Lc thresholds of lR-linear systems   8/11

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1)  8/12

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2)  8/13

  Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree  8/14

  Complements near a divisor  8/15