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理解关乎来源、过程及不变性。

已有 2329 次阅读 2019-1-13 23:46 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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本期开始改变画风,搭载数学类学院等有用链接。
今日学院:数学与统计学院(重庆大学)。新闻新闻+
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理解关乎来源、过程及不变性。
(接上回~) 证明的温习:Step5
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先回到昨天留下的“谜”:
L':= (n+1)M' - nKx' - nE' - \(n+1)Δ'/.
---- 原作是如何构造出这个定义的
---- 答曰:很可能是从“参”演化而来的!
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“参”的演化
---- “参”的定义: M - (Kx + B).
---- “相”的分解: B = E + Δ.
---- 第一次演化M -(Kx + E + Δ)=M - Kx - E - Δ.
---- 上式与 L' 各项符号一致(去掉含n系数): + - - -.
---- 第二次演化M - Kx - E - Δ ~> nM - nKx - nE - nΔ.
---- n 的来源在Step3,它使得 nB 成为整系数(而L'是整系数的)。
---- 换句话说,作者的动机之一是“凑出”整系数的L' 
(原理:结果即目的)
---- 第三次演化nM - nKx - nE - nΔ ~>  
                           nM - nKx - nE - nΔ + M - Δ = 
                   (n+1) M - nKx - nE - (n+1)Δ.
----引入 “ + M - Δ” 的动机不明显待考)。
---- 第四次演化:给最后一项“ (n+1” 取整,得:
(n+1) M - nKx - nE - \(n+1)Δ/.
---- 这一步的动机很明显(凑整系数)。
---- 推测:nM, nKx 都是整系数(nE显然整系数)。
---- 若此,第三次演化中,引入“ + M - Δ” 的动机在别处。
---- 第五次演化:给各个角色带上撇。
(以后会看到,带撇或不带撇有微妙差别)。
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评论:以上确认,L' 是从 M - (Kx + B) 演化而来,并将 L' 构造之谜锁定在引入“+ M - Δ”的动机。
---- 回顾Step1~Step4, 都是围绕 M - (Kx + B) 及其变体做文章。
---- M - (Kx + B) 在整个证明中扮演着“轴心”的角色。
---- 换句话说,M - (Kx + B) 是“元模式”,也是“元方法”,具有不可磨灭性。
(凡是反复出现的都可视为“方法”)。
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引入+ M - Δ” 的动机分两项考虑:
1. 引入“+ M” 的动机。
---- 这个可以猜到一点:与 “M|s ~ 0” 有关。
---- L' 改写后出现一个孤立的 M',露出蛛丝马迹。
---- 限制到S之前,M' 将起到某种作用。
(后面得盯着点这件事)
2. 引入 “- Δ” 的动机。
---- L' = nΔ' - \(n+1)Δ'/ + nN' + M'.(L'的改写版).
---- “Since nB is integral,\(n+1)Δ/ = nΔ...”(见Step8).
---- 换句话说,带撇的粉色项,去掉撇,会归零
---- 这就是带撇与不带撇的微妙之处。
---- 撇号是由“log resolution”引入的(见Step4)。
---- 换句话说,引入 “- Δ” 是为了“凑零”。
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评论:作者的动机是利用 M|s~0 和 log resolution 的特性
---- 在整个过程中,作者要么怀着某种希望,经历了“摸索”和“试错”,凑出了 L' 的构造;要么直接运用了在其它地方发展起来的“经验”。
(原始创新都是摸索和试错的产物)
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现在转到Step5
这一步用类似方程的途径引入了 P'。
---- 即,取和 Γ' + nΔ' - \(n+1)Δ'/ + P', 使得:
---- 该和 构成 “boundary”,该和 与 X' 形成的配对 系 plt,并且对 该和 取整得到 S'(假定 该和 非负),并且 P' 是唯一、整系数的 “divisor”。
(疑问:这么多约束,能存在?)
---- 原作给“该和”一个记号 Λ'。我给个汉字标签“”。
---- P' 的汉字标签取作“”。
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P' 的两个性质:
---- 1. P' 在不可约分量 D' 上的投影系数在[0, 1] 。
---- 2. P' 系 “exceptional / X”。
评论:两个性质的证明用到某种系数分析方法,暂未参透。
---- 从后文看,P' 的不带撇版 P = 0(见Step8)。 
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疑问:原作取和的动机是什么?为何将那几项放一起?
---- 从构造上看,Λ' 的不带撇版该是 Λ = Γ + 0 + 0 = Γ 
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综上分析:原作的手法是利用 M'nΔ' - \(n+1)Δ'/P' 非零,但又能“隐身”的特性,在两种空间/条件下转换,巧妙实现各种“桥接”。
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最后,从构成上看,L' 和 Λ' 有交集,但 L' 和 P' 没有明显的关联,Step6 将对后两者取和。
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小结:Step5 就概括为“”。 


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