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深刻的定理都联系着映射。

已有 2009 次阅读 2018-12-5 19:56 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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                                                      新入の者--> What is going on ?
本期开始改变画风,搭载数学类学院等有用链接。
今日学院:数学与统计学院(西安交大)。教授37位,副教授50位,讲师21位。新闻:统计学系报告
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深刻的定理都联系着映射。
(接上回~Boundedness of singular Fano varieties.
评论:引言共6个小节,简略介绍背景、概括主要结果。
---- 这里的“有界”不是常见的意思,另有含义(类似于给硬盘格式化,即在盘面标识上有限条磁道,每条磁道可有无限多访问点)。
---- 第1节介绍了本文的“主定理”,相当于“光明顶”。
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第一段(摘):
1-1. A normal projective variety X is Fano if -Kx is ample and if X has log canonical singularities.
评论:X 可视作“主集合”,Kx 可视作“副集合”,后者帮助刻画前者。
---- 主配置:X~(np, lc)
---- 副配置:-Kx ~ ample
加评:第一句话,先给全篇的“主角儿”来个速写。
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第二段(摘):
2-1. Given a smooth projective variety W with Kw not pseudo-effective, the minimal model program produces a birational model Y of W together with a Mori fibre space structure Y-->Z[5].
评论:引述了一个基本结果。
---- 主配置:W ~ sp
---- 副配置:Kw ~ not pseudo-effective
----    结果:MMP ==> Y --> Z
简记:    Wsp ~ Kw
                  |
MMP ==> Y --> Z
注:Y 称作 W 的“双有理模型”;Y --> Z 称作 Mori 纤维空间结构
加评:Y 可以看做 W 的“对应物”,也许更便于研究【$】。
2-2. A general fibre of Y --> Z is a Fano variety X with terminal singularities.
注:Mori空间中的纤维构成某种奇异Fano簇。
---- 构造Mori空间 等价于 “量产”此种Fano簇。
疑问:general fibre 究竟在 Y 中,还是在Z中
作者提示:
----| Fano簇构成“双有理几何”的基本类。
----| 按个体或按族理解Fano簇是重要的。
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第三段,按维数列举Fano簇(低维)。概要:
----| 一维,只有1个Fano簇,即 lP^1。
----| 二维,有无限多Fano簇。其中:
1) 光滑Fano曲面形成有界族。
2) eps-lc奇异Fano曲面形成有界族(eps>0)[1]。
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第四段,任意维的情况(含方法)。概要:
---- 存在光滑Fano簇构成的有界族(有理曲线几何)[22]。
---- 环形eps-lc奇异Fano簇形成有界族(组合方法)[7]
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第五段(概要):
----| 上述结果使得Alexeev[1]和Borisov兄弟[7]猜测在任意维,eps-lc奇异Fano簇形成有界族(eps>0)
----| 作者将上述论断推广,称之为 BAB猜想,并证明之(定理1.1)。
注:BAB猜想是在1993~1994年提出的,作者推广猜想、并在 2016 年完成证明。
评论:猜想的形式非常简洁,是数学中典型的“好”问题。
---- BAB猜想提出22年后得到证明,而它的历史只有两个起点和一个终点。
---- 作者的选题来源也清楚了(攻猜想模式)。
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Theorem 1.1. Let d be a natural number and eps a positive real number. Then the projective varieties X such that
  • (X, B) is eps-lc of dimension d for some boundary B, and
  • - (Kx + B) is nef and big,
form a bounded family.
评论:作者是用“(sub)配对”的语言来表述BAB猜想的。
---- 所谓(sub)配对,就是在一定的条件下,给主集合X 引入所谓的边界 B,从而得到扩展的主集合(X, B)和扩展的副集合 Kx + B。
----- “(sub)配对”很可能是轴心概念/方法(几乎出现于一切引理、定理、推论、命题)。
---- 上面的第二个条件,把最初猜想中的 “ample” 换成了 “nef and big”,即“弱”配置。
---- 上面的两个条件合起来,可以简称为 eps-lc weak Fano,记作 EWF。
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定理1.1可简记为:EWF ~> {Xp} 有界。(方便制作卡片、帮助记忆)。
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关于配对的奇异状态或类型,以及强弱,可以分出四个象限。
                    lc
             F     |    WF
ample -----  klt ----- nef&big
            EF   |   EWF
               eps-lc
注:纵向的红色字母表示三种奇异状态,横向的蓝色字母表示强弱。
---- E表示eps-lc, W 表示 weak (nef&big), F 表示 Fano. 
---- 简洁起见,ample 和 lc 不在缩写中明显写出。
---- 有时也用到 KWF, 即 klt weak Fano (图中未显示).
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剩余段落(概略):
---- 提示eps=0时,定理1.1不能成立[25]。
---- 介绍了一些“部分结果”,列出了相应的文献([18][23][6][11][3])。
---- 得到推论1.2,等价于定理1.1,提及有关文献([13][3])。
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小结:引言第1个小标题读写完毕。(第一轮花了6天,参下方链接)。
---- 这个第二轮该是温习、压缩。
* * *
【$】临时感悟:
---- 在高阶数学中,倾向于不直接研究某个对象,而是研究其对应物(间接路线)。
---- 原理/习惯/方法:将某数学对象映射到另一空间,通过理解它的像来理解它本身。
---- 映射不能是任意的,而是要(完全或部分地)“保持”对象的“焦点”属性。
---- 另一空间须有某种“好处”或“方便”,比如,更多工具、像的形式更简单、规律更明显、计算量更小、标准化,等等。


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