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全都看不懂，刚好可以用来分析“理解的原理”。
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本期开始改变画风，推出知名科学家，有用链接等。
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（接上回*）Lemma 2.21. Let π: X --> Z be a finite morphism between varieties of dimension d, x∈X a closed point, and z = π(x). Assume X and Z are smooth at x and z, respectively. Assume t1, t2,...,td are local parameters at z and that π*t1,...,π*td are local parameters at x. Then π is étale at x.
评论：此引理就是讲一个映射，具有如下性状
1）有限态射（finite morphism）；
2）两边都是簇集、维数相同；
3）闭点处的作用情况（保光滑）；
4）共轭映射保持局部参数；
结论：该映射在闭点处 étale。
注：红色标识的概念待考。
简记：
Z(z) 文
↗
X(x) 文
t1 t2 t3 π*t1 π*t2 π*t3
t4 z t5 π*t4 x π*t5
t6 t7 t8 π*t6 π*t7 π*t8
Proof. Let h: Oz --> Ox be the homomorphism of local rings induced by π. Assume m and n are the maximal ideals of Oz and Ox, respectively. By assumption, m = <t1,...,td> and n = <π*t1,...,π*td> where π*ti=h(ti). Thus the induced map m --> n is surjective, hence m/m^2 --> n/n^2 is surjective too. Then the dual map Tx --> Tz on tangent spaces is injective, hence and isomorphism. Therefore, π is étale at x.
评论：没一句能看懂的。
1）由 Pi 诱导出 h，即局部环之间的同态映射（由 z 到 x 方向）；
2）取出 Oz 和 Ox 的主理想，分别设为 m 和 n；
3）由上推出 m = <t1,...,td> ， n = <π*t1,...,π*td> ，其中 π*ti=h(ti)；
4）于是，m 和 n 之间建立了映射，并且是surjective的；
5）因此，m/m^2 和 n/n^2 之间也是surjective的；
6）突兀地，出来个切空间上的对偶映射（由 x 到 z 方向），它是injective的，从而是 isomorphism的；
7）因此，Pi 在 x 是 etale 的。
加评：全都看不懂，刚好可以用来分析“理解的原理”。按照小平邦彦的观点（大意）：数学是实验的科学，证明只不过是实验的结果，不了解实验的过程，就无法理解实验的结果。我更倾向于用“试验”这个词，就是从各个方向上去摸索，仅此而已。（首先是猜出命题，然后才去证明；也可能是从一个地方开始推导到达另一处，然后去掉中间过程，保留头尾）。
方法透析：
1）由Pi诱导出h，前者是簇间映射，后者是局部环之间的映射。在这个诱导中，闭点 x 很关键。有了x，再用Pi得到 z。x 和 z 分别生出各自的局部环，进而得到 映射 h。
【口诀：见“闭点”想“局部环”】。
2）透析略。
【口诀：见（局部）环 想 主理想】。
3）如何跑到 切空间 上了？（参见“又注”如下）
.
又注：此引理中的etale是局部的（参见Etale morphisms）：
Étale morphisms
- f: X → Y
are the algebraic counterpart of local diffeomorphisms. More precisely, a morphism between smooth varieties is étale at a point iff the differential between the corresponding tangent spaces is an isomorphism.
评论：看上去，etale morphisms 和 tangent spaces 有天然联系（“定义级”的联系）。
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小结：完成引理2.1的读写。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1146404.html
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