This is an in-mail from TYUST.

本期开始加开窗口，推出科学网特色博主，有用链接等。

今日博主：徐令予李颖业张忆文林中祥 张云 李学宽武夷山 宁利中 蒋迅 蒲亨建 刘全慧 谢力Grothendieck 韩健 毛宏王庆浩尤明庆张操曾新林文克玲蔡宁吕洪波杨正瓴彭真明蒋继平姬扬徐耀刘钢刘全生吕喆 王鸿飞 马臻 刘进平 赵美娣 鲍永利 戴世强 周涛 刘洋 邢志忠 曾泳春郭景涛郑永军（保留若干神秘博主）

打起精神往前走...

.

（接上回*）Proof. (of Theorem 1.6) By assumption, |A - M|R ≠ Φ, so A ~R M+N for some N ≥ 0. Thus

lct(X, B, |M|R) ≥ lct(X, B, |M+N|R) = lct(X, B, |A|R) 

so it is enough to give a positive lower bound for the right hand side.

注：开始读写Th1.6的证明（共5个自然段）。此定理是本文“主将”。方便起见，段落或进一步细分。

评论：Th1.6即“花费控制定理”（又名“皇帝和他的大内们”*）。文章里最后的较长证明（“最后的拼杀”）。

第一句，由假定， |A - M|R ≠ Φ, 故可有 A ~R M+N，其中 N ≥ 0.

注：这里没有“调用”，估计用到“~”的定义（猜测：A~R A' 相当于 |A|R = |A'|R）。

第二句，于是，lct(X, B, |M|R) ≥ lct(X, B, |M+N|R) = lct(X, B, |A|R) 

注：不等式存疑（？），等式是显然的。

第三句，故此，只须给出右端的正下界。

.

加评：第一段，简单的开局。略宽心，喝杯咖啡再战。

.

We want to apply Proposition 5.9, so we need to replace X with a Q-factorial one.

注：这是第二段的第一句（命题5.9是“跳点”）。

.

Proposition 5.9. Let d, r be natural numbers and eps a positive real number. Assume Theorem 1.6 holds in dimension ≤ d - 1. Then there exist natural numbers n, m and a positive real number eps' < eps depending only on d, r, eps satisfying the following. Assume

• (X, B) is a Q-factorial projective eps-lc pair of dimension d,

• A is a very ample divisor on X with A^d ≤ r,

• L ≥ 0 is an R-divisor on X,

• A - B and A - L are ample,

• (X, B + tL) is eps'-lc for some t ≤ r,

• a(T, X, B + tL) = eps' for some prime divisor T over X, and

• the centre of T on X is a closed point x.

Then there is a Q-divisor Λ ≥ 0 such that

• nΛ is integral,

• mA - Λ is ample,

• (X, Λ) is lc near x, and

• T is a lc place of (X, Λ).

注：此命题位于第5部分最后一节（证明约占2.5页）。

评论：主条件有 7 项，副条件有 4 项。主条件简记：

A     L

   (T)

X     B

副条件简记：

(m)A       T

   X       (n)Λ

注：简记有待完善。

加评：此命题似乎是从主体证明中（突兀地）拆分出来的，该是在一定的上下文中产生、并做了条理化（注：按5.8开头提示，可能要结合 5.7 和 5.5 才能有所理解）。

.

小结：定理1.6读写开了个头；初次整理命题5.9（可能得构思个“故事”帮助记忆）。

今日博主：徐令予李颖业张忆文林中祥 张云李学宽武夷山 宁利中蒋迅蒲亨建 刘全慧 谢力Grothendieck 韩健 毛宏王庆浩尤明庆张操曾新林文克玲蔡宁吕洪波杨正瓴彭真明蒋继平姬扬徐耀刘钢刘全生吕喆 王鸿飞 马臻 刘进平 赵美娣 鲍永利 戴世强 周涛 刘洋 邢志忠 曾泳春郭景涛郑永军（保留若干神秘博主）