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塞尔在1955年将韦依猜想用上同调的语言介绍给格洛腾迪克...*。

Riemann－Roch定理...它真是数学上的一个杰作*。

（接上回*） 2.14. From bound on lc thresholds to boundedness of varieties. The following result connects lc thresholds and boundedness of Fano varieties, and it is one of the main ingredients of the proof of Theorem 1.1.

评注：点出两个（关键）事物之间的联系。

评论：之前浏览时给该小节标注了五角星（关乎核心）。

温习：涉及到若干先前的概念。

1. lc thresholds.

2. boundedness of varieties.

3. Fano varieties.

4. Theorem 1.1.

<~温习~> lc thresholds 的定义见引言部分第三个小标题*。

评论：回头看，配对(X, B)和除子L本来各是各，彼此没有关联。文中引入（线性）形式 B + tL，使得 B 和 L “关联”起来。忽然想到：为了使得两个事物发生关联，最简单的办法是 —— 做运算。所谓关联，是通过运算结果来体现的，或者说，是相对于运算结果而言的。所有运算中，“加法”是最简单的。若把 B 和 L 看做“常量”，则可用它们构造“变量”。而所有变量中，线性变量是最简单的。或者，这么看：两个常量看做两个点，而两点确定一条直线。由于 B 和 L 都有实数的属性，容易想到引入实参数 t，从而得到线性变量 B + tL 或 tB + L。文中采用了前者（L扮演“斜率”）。这是第一步。

尽管X和B构成配对，而B和L有了线性关联，但L和X没有明显关联。特别是，L与“配对”这个整体没有关联。容易想到，利用配对(X, B)的特征属性与L发生关联。

配对是这样，X和B（按某种规则）相互选择构成配对，具有lc, klt, eps-lc 三种刻画或分类。既然B和L的关联结果是 B + tL，下一步自然想到把 X 和 B + tL（用配对的方式）关联起来。配对可以看做variety和divisor之间的（常规）“运算”。这样，就要选择一种刻画形式。文中采用了lc。

X 和 B + tL 互相选择构成配对，且是lc的，而X、B和L都是给定的。于是，不难想到，选择的结果完全体现在参变量t的取值上。把符合条件的t集中起来，就得到集合：

{ t | (X, B + tL) 是 lc的}。

现在，完成了第二步关联，得到个t的集合（忍不住联想到“示性数”）。于是来到第三步，取上述集合的上确界作为所谓的lc threshold，记作lct(X, B, L)。

这里有两个问题：其一，对于一切t，X 和 B + tL都能构成配对吗？其二，那个t的集合一定存在上界吗？（期待在文中遇到相关命题或引理）。

从提法上看，lc threshold是针对L而言的，但关乎(X, B)。至于其中的意义，很难从定义本身看出来，只能从关系中反映出来（参见此小节末尾及相应读写笔记）。

整个定义过程是：常量 à 变量 à 常量。整个定义，可以看做用一个数值刻画L相对于(X, B)的关系，就好像后者度量了前者。或者反过来，把数值lct看做L对(X, B)的度量。

小结：(X, B) 和 L 做关联的套路：1. B 和 L 做“线变”运算，得B+tL；2. X 和 B+tL做（形式）配对运算，得(X, B+tL)；3. 收集t使得(X, B+tL)是lc的。所谓阈值，即临界值。

模式：(X, B), L à (X, B + tL)。问题：可以设计其它关联方式吗？

考虑：lc 也得有所温习及深化理解。

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