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“他的经典代数几何知识实质上等于零...”*。

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(接上回*) Theorem 2.13. ([3, Theorem 1.7]). Let d be a natural number and lR ⊂ [0, 1] be a finite set of rational numbers. Then there exists a natural number n divisible by I(lR) and depending only on d and lR satisfying the following. Assume (X, B) is a projective pair such that

• (X, B) is lc of dimension d,

• B ∈ Φ(lR), that is, the coefficients of B are in Φ(lR),

• X is Fano type, and

• -(Kx + B) is nef.

Then there is an n-complement Kx + B^+ of Kx + B such that B^+ ≥ B. Moreover, the complement is also an mn-complement for any m ∈ N.

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评注：n-complement 存在性定理（充分条件）。

评论：I(lR) 约束 n， Φ(lR) 约束 B。有理单散集起到“支柱”作用（有点“基”的味道）。简记：

                 [0, 1]

                    |

n ~ I(lR) <~ lR ~>  Φ(lR) ~ BΦ 

                                            |

                                   (Xf, BΦ)p ~ lc(nef)

                                                   ↓

                                                   Kx + B^+

注：(nef) 表示 -(Kx +B) 是nef的。（超简记：lR ~> B^+）

问题：(X, B^+) 是lc的吗？-(Kx + B^+) 是 nef的吗？

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特评：

1. I(lR)不妨称作（有理单散集的）“整化因子”，也是构成 n 的因子。为了构造 n-complement，可任取有理单散集，得其整化因子，则只消找到某个倍数，即可得到n。换句话说，有理单散集起到限定n的自由度的作用。

2. Φ(lR) 内的元素仍为[0, 1]内的有理数，它是由 lR 派生出来的。但前者是可数集，后者是有限集。从第二项条件看，Φ(lR) 有点“域”的味道，不妨称作“有理单散域”（但不是数域的概念）。

3. B^+ 恒不小于 B，或有后用。不妨称B^+为“B超”

注：lR 和 Φ(lR) 的内核都是模式：lR ~ [0, 1]； Φ(lR) ~ 1 - r/m 。

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临时：数学中的“模式”类似于印欧语系中的“词根”。学不好或学不透数学，或源于对“模式”不敏感（好比不通音律的人对“乐音的模式”不敏感一样）。或许，模式不仅关乎数学，而且关乎世间的一切（如：物理、化学、生物、天文、地理、历史、文学、写作、商业、经济、政治、神学、口语、书法、武术、电影...）！所谓一通百通，只在于“模式”二字。或许，天才只不过是由于偶然的经验，积累了把握“模式”的能力。只要特别加以注意和学习，此等能力亦能提高。忽然想到：真正的创新，在于模式的创新！新模式往往产生于（或联系着）已有模式。要提高对模式的敏感度（或曰“模商”）。

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小结：定理2.13是从“有理单散集”出发构造“B超”，即 lR ~> B^+ 。

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