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◆ 三次方程会难住数学博士吗?

已有 2493 次阅读 2018-1-26 14:54 |个人分类:科学研究|系统分类:科研笔记

“路易,十三嗒。”
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最近意识到,从二次方程到三次方程,求解难度陡然上升,两者有天壤之别。如果不查资料、不讨论,可能绝大多数人都做不出三次方程的求根公式,甚或包括大部分数学专业的博士、教授(含哈佛、北大)? 如果把一个三次方程写到黑板上,大部分学生可能会跑去查资料,然后“给你”一个答案。甚至,好多老师也会那样去做。这又有什么不对呢?
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问题就在于,人们似乎倾向于逃避真正的困难。印象中,二次方程的求根公式出现于公元前,而三次、四次方程的求根公式要到十六世纪才出现,两者跨越了2000年左右。尝试独立求解此问题,可以探测(古代)人的智商——它绝非出自等闲之辈。我估计一般的研究人员智商在120~140附近,若能解算出三次方程的求根公式,智商可能要到180左右。我想知道自己能否解开这道题。。。
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之前探索了一元二次方程,略受启发,我打算整理一下这几天的探索。一元二次方程的求解,可以概括为“归元法”。依照“元学”观点,最简单的非平凡一元二次方程具有形式:x^2=2,它是一种元模式。所有的元模式都是不可回避的。单从数学上讲,元模式应该具有“形”和“状”两个方面。比如,从 x 变化到x+2 或 2x,则视乎为“状”的变化,“形” 并没有改变。但从 x 变到 x^2,就视乎为“形”(上的)变化了。通常说的“形而上”,大概就是指这种变化。
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又,如果从x^2=2 变化到x^2=c,当然也是“状”的变化,但应该强调c不为零。这样的话,x^2=2与x^2=c在“形”上是等价的,可以视作“元形式”,或者简称为“元”。从元形式 x^2=c 出发,改变一下它的“状”,比如改成 (x+d)^2=c,然后展开它,得到:x^2+2dx+d^2=c。观察得知,d会影响到一次项和常数项,但不影响二次项。这个状的改变,可以给一个特定的名称 —— 平移。另一种状的变化是 (ax)^2=c,也即a^2x^2=c,这种改变可称作“伸缩”。这两种状的改变是在“形下”发生的。假如改为 x^2=c+d,或者x^2=cd,则可称为“形外的”变化,即没有对x进行任何直接的替换。从推导的角度看,x^2=cd 等价于元形式,而从a^2x^2=c也容易归为元形式x^2=c/a^2。总之,从元形式出发,伸缩和形外的改变不会影响一次项,后者与平移关联。
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上面还有一点没有提及,那就是x肩膀上的数字2,此数字可称作“形之状”,或“形状常数”。要搞“形而上”,就得打它的主意。根据以上的观察,很容易去想,可否从一元二次方程的一般形式出发,“归结”到它的元形式?为此,最好综合地考察一下“状”(形下和形外)的改变对元形式的改变情况。即考察 (ax+d)^2=(c+b)/e 或 (ax+d)^2=c/e+b。以后者为例,展开得:a^2x^2+2adx+d^2=c/e+b。可以看到,一次项关联着a和d(即形下的变化),而与形外的变化没有关联。 
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现在从一元二次方程的一般形式出发:fx^2+gx+h=0。为了归结为元形式,可以参照刚才的展开式作为过渡。首先,改写为 sqrt(f)^2x^2+gx+h=0。即a=sqrt(f),g=2ad=2sqrt(f)d,h=d^2-(c/e+b)。由g的式子可以算出d=g/(2a)=g/[2sqrt(f)],则c/e+b=d^2-h。于是有:sqrt(f)^2x^2+2sqrt(f)g/[2sqrt(f)]x+{g/[2sqrt(f)]}^2-({g/[2sqrt(f)]}^2-h) =0。前三项参照过渡展开式,得到:[sqrt(f)x+g/(2sqrt(f))]^2={g/[2sqrt(f)]}^2-h。两边开方,得:sqrt(f)x+g/(2sqrt(f))=+/-sqrt(g^2/(4f)-h)。于是,得到解:x=-{g/(2sqrt(f)) +/- sqrt(g^2/(4f)-h)}/sqrt(f)。进一步化简:x=-g/(2f) +/- sqrt(g^2/(4f^2)-(4fh)/(4f^2)) ,即:
x=-g/(2f) +/- sqrt(g^2-4fh)/(2f)。
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上面的推导有点麻烦,但它确实表明,从一般形式出发可以归结为改变了状的元形式,即从本质上“归元”了(即一般形式和元形式在“形”的层面等价)。主要的方法是对照系数法(借助元形式变化后的展开式作为过渡/桥接)。但三次方程的求解要困难的多,我感到它联系着一种“元技巧”,隐藏甚深,大大地超越了简单的对照系数法。对于三次方程,若求出一个根,则另外两个也能立即求出。但一般情况下,三个根“盘结”的极为紧密,好似一幅连环套,着实困难。假如谁不能独立解开三次方程,似乎就没有必要再做数学了——他/她只是站在更高的椅子上解二次方程罢了!
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作为娱乐,随便写一个三次方程(陆壹拾叁):6x^3+x^2+x+3=0  也许你能解开哦~

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注:本文首发于群邮件[Graduate Gate],原标题“论方程”。



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