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【心路24】九五之尊
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无计可施的时候，高观点能指明前进的方向...
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周二*留了尾巴，今天要完成它。先列出之前得到的式子：
τ=ϕ(v)·β·(t-v/V^2·x),
ξ=ϕ(v)·β·(x-vt),
η=ϕ(v)·y,
ζ=ϕ(v)·z.
其中，ϕ(v)为待定量，β=1/sqrt(1-v^2/V^2)。现在的任务是确定ϕ(v)。
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之前的上下文是静系（K）和动系（k），后者相对于前者以匀速v平移。按作者的思路，引入第三个坐标系K'，它相对于k系以速度 -v 沿着X轴平移。新引入的 K' 系实际上是 K 系的拷贝，K 和 K' 相对静止，后者的坐标为x',y',z' （这里的 x' 不是前文中的x'=x-vt那个x'）。接着“设在t=0时，所有这三个坐标系原点都重合在一起，且设 t = x = y = z = 0 时，K' 系的时间 t' 为零。” 这里面没有什么特别的，只是描述初始状态（也是上述变换适用的初始状态）。
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这里，K' 和 k 之间，相对地：前者视为动系，后者视为静系。套用上述四个式子（左动右静），得：
t' =ϕ(-v)·β·(τ+v/V^2·ξ),
x'=ϕ(-v)·β·(ξ+vτ),
y'=ϕ(-v)·η,
z'=ϕ(-v)·ζ.
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接着，k 和 K 之间，相对地：前者视为动系，后者视为静系。把早先的四个式子代入上式，有：
t' =ϕ(-v)·β·(τ+v/V^2·ξ)
=ϕ(-v)·β·[ϕ(v)·β·(t-v/V^2·x)+v/V^2·ϕ(v)·β·(x-vt)]
=ϕ(-v)·ϕ(v)·β·[β·t-β·v/V^2·x+β·v/V^2·x-v^2/V^2·β·t]
=ϕ(-v)·ϕ(v)·β^2·[1-v^2/V^2]·t
=ϕ(-v)·ϕ(v)·t
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x'=ϕ(-v)·β·(ξ+vτ)
=ϕ(-v)·β·[ϕ(v)·β·(x-vt)+v·ϕ(v)·β·(t-v/V^2·x)]
=ϕ(-v)·ϕ(v)·β^2·[x-vt+vt-v^2/V^2·x]
=ϕ(-v)·ϕ(v)·β^2·[1-v^2/V^2]·x
=ϕ(-v)·ϕ(v)·x
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y'=ϕ(-v)·η
=ϕ(-v)·ϕ(v)·y
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z'=ϕ(-v)·ζ
=ϕ(-v)·ϕ(v)·z
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注释：前两段推导中的蓝色项彼此抵消，而绿色和红色项约分了（1-v^2/V^2=β^{-2}）。规整上述推导，有：
t' = ϕ(-v)·ϕ(v)·t
x' =ϕ(-v)·ϕ(v)·x
y' =ϕ(-v)·ϕ(v)·y
z' =ϕ(-v)·ϕ(v)·z
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得到上述结果之后，作者另起一段写道“由于x',y',z'同x,y,z之间的关系中不含时间 t，所以K同K'这两个坐标系彼此相对静止的，而且，从K到K'的变换显然必定是恒等变换。因此：
ϕ(-v)·ϕ(v)=1” <1>
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注释：K'与K相对静止从物理设定上就能看出来，但作者在这里是要从数学关系式中“推导”出来：确实，上面最后三个式子里既没有出现 t，更没有出现 t' 或τ。以上引入K' 系，出现了 K' ~ k ~ K 三套坐标系，而两边的 K' 和 K 彼此相对静止，两静护一动。作者是怎么想到的呢？这是个谜，也是个“元操作”。我感觉作者是利用了相对运动的对称性，但额外引入K' 更容易理解。（可见，无计可施的时候，高观点能指明前进的方向）。
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上面的关系仍不足以确定ϕ(-v)。作者转而考虑 k 系Y轴上的一个区段，即：ξ=0, η=0, ζ=0 和 ξ=0, η=L, ζ=0 之间的这一段。而Y轴看做一个杆，它相对于K系以速度v运动，而杆的轴向与运动方向垂直。杆上那一段的两端在K中的坐标可以通过早先列出的变换式子来计算。比如，把ξ=0, η=L, ζ=0 代入，有：
0=ξ=ϕ(v)·β·(x-vt),
L=ϕ(v)·y,
0=ϕ(v)·z.
由此：x=vt，y=L/ϕ(v)，z=0。这是Y轴杆上远离X的点，作者把它的（静系）坐标改记作x1, y1, z1。即：
x1=vt，y1=L/ϕ(v)，z1=0.
类似地，把ξ=0, η=L, ζ=0 代入变换，且该点静系坐标记作x2,y2,z2，则有：
x2=vt，y2=0，z2=0.
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于是，得到了Y轴杆上两端在K系的坐标，从而可以计算出杆在K系的长度：sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]=abs(y1-y2)=L/ϕ(v). 作者说“这就给出了ϕ(v)的意义”。但究竟是什么意义，没有明说。我想，从量纲上来看，ϕ(v)就是个没有单位的系数，尽管看上去是关于v的函数。ϕ(v)的意义就是坐标变换产生的无量纲系数。
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进一步，作者指出“由于对称的缘故，一根垂直于自己的轴运动的杆在静系中量得的长度，显然只同其运动的速度有关，而同运动的方向和指向无关。” 这里的中译有点拗口或费解。作者的意思无非是：若杆运动的速度矢量与杆的轴向始终保持垂直，则杆在静系中的长度，至多与运动的速度（标量值）有关，而与运动方向或指向无关。这样，若把v和-v对调，则动杆在静系量得的长度不变。于是，L/ϕ(v)=L/ϕ(-v). 即：
ϕ(v)=ϕ(-v). <2>
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对照<1>和<2>，得：ϕ(v)=1.
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这样，早先的变换方程得以最终确定：
τ=β·(t-v/V^2·x),
ξ =β·(x-vt),
η=y,
ζ=z.
其中，
β=1/sqrt(1-v^2/V^2).
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原著第3节推导完毕。（这个变换曾经红得发紫，亦将万世不朽）。
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注：本文首发于群邮件[Graduate Gate....Wednesday&Thursday] ，原标题“论不朽”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1084393.html
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