如果重新考察2x2=4，3x3=9，等等，就会发现其中蕴含着“对称”。抽象地讲，两个事物相互作用，得到第三个事物。只有在输入“对称”的条件下，才能够由输出“逆向地”算出输入。现在把2看作输出，这种逆向过程就受到了阻碍，除非 —— 对称关系得到“扩大”。换句话说，引入开方本质上是追求“对称”的结果。 刚才说的是开平方。如果考察2x2x2=8，3x3x3=27，等等，也会发现其中的可逆性。这个自然也归根于某种对称。总之，由个别的对称出发，追求普遍的对称，就有机会突破原有空间，而“钥匙”就在那里（即原有空间）—— 先从特例的对称中提取出映射，然后构造逆映射，进而用逆映射去下定义，这样就可以扩大对称的范围，同时也扩大了空间。换个说法，先有了某个关乎对称的正问题，然后考察其逆问题，并试图扩大对称的范围。这就是“开方”的本质，也是它所蕴含的终极启发（ultimate inspiration）。

顺便说说尺规作图的事情。在这个系统中，能够做的基本的事情是画直线、画圆，所以也可以把尺规系统称作“曲直系统”（后者的内涵广了点），它构成了一种“能耐空间”，其中包括了尺规的各种“能耐”。后来三等分问题出现了，尺规作不了，这就意味着“三等分问题”跑出了现有的“能耐空间”，意味着曲直系统存在漏洞。三等分问题怎么解决的呢？不知道-_-! （回头查百度/wiki）。尺规系统也会遇到对称问题，有没有可能从扩大对称的角度考察三等分问题呢？嗯。。暂时看不出尺规系统中的“开方”究竟是什么（最好不是根号2那种开方，否则就没啥意思了——不想看代数的几何意义，而是想看能够体现几何的本质特征的“开方”。所谓“本质特征”，这里指其它地方没有的东西）。

听个小曲儿吧~