1）  物质波初相的物理意义

图（7.1）中，K系描述的自由粒子物质波ψ，是粒子一离开原点x=0时便开始记录的。初始条件是 t=0，x=0 ,物质波初始相位α₀=0 。要使K系中描述的物质波的初相不为零。可在粒子运动了一段时间后，比如，x=x₀之后开始记录。设被记录的物质波为ψ’ ，则物质波式（7.33）中的位置变量x 应为

                         x=x₀+x’

于是式（7.33）变为ψ’ =Asin[ωt-ω(x₀+x’)/v_p]= Asin(-ωvx₀/c²-ωt-ωvx’/c²)                                       (7.35)

注意：这里的x’仍然是K系的时空标度。当 x₀=0时，式（7.35）回到（7.33）。

令                                     α₀=ωvx₀/c²                 (7.36)

且将x′仍用x标记，则式（8.35）变为

ψ’ =Asin[-α₀+ωt-ωvx/c²]                   (7.37)

α₀即为物质波的初相。它包含有粒子运动速度因子，有特定的数学结构和物理含义。式（7.37）即为K系中一个初相不为零的自由粒子物质波波函数。与式（7.33）描述的物质波相比，它只是在同一坐标系中，把描述同一物质波运动的空间起点往后平移了一段距离,数学上是坐标系平移，物理上类似交流电初始相位中转子的初始方位。如图7.2。         

                             

物质波ψ、ψ'描述的显然是同一参照系中粒子的同一波动状态。但记录物质波的空间起点不同，即初相不同。 ψ、ψ'描述的是自由粒子的同一运动状态。这正是规范变换的要求。                       

         物质波初相与记时起点的关系正好体现了狭义相对论时间变换与位置x相关的物理实质。记时位置的不同， t₀、t 的时差不同，初相当然不同。

2）  德布罗意自由粒子物质波规范变换的物理实质

(1) 整体规范变换                                    

我们把式（7.33）和式（7.37）表示的波函数写成指数函数形式：

其中 α=ωt-ωvx/c²              

令        α’ =-ωvx₀/c²+ωt-ωvx/ c²=-α₀+α        

所以  

            

故有 

                                                                     (7.38)

式（7.38）中，初始相位α₀=常数，他具有阿贝尔和非阿贝尔整体规范变换形式。从α₀特定的物理含义和数学结构知,α₀=常数，意味着与物质波相联系的粒子的运动速度 v=常数≠0，是自由粒子，做匀速运动，且记录物质波的初始位置x= x₀ ,式（7.38）就是德布罗物质波自由粒子整体规范变换形式。

    由狭义相对论,m₀c²=hv₀ 、mc²=hv ，质量的增加转化为物质波频率、相位的变化表明，物质波的整体规范变换与运动粒子引力势的全空间统一增加，有着内在的统一联系。

(2) 局域规范变换

在初相

                 α₀=ωvx₀/c²                                     (7.39)

中，如果v=v(x,t) ,即v是时空点的函数，则有α₀=α₀(x,t) ，表明粒子处在力场之中，做加速运动。

将            α₀=α₀(x,t)         

代入式（7.38）有

                                                             (7.40)

式（7.40）具有阿贝尔和非阿贝尔局域规范变换形式。对自由粒子物质波做局域规范变换表明，只要对自由粒子物质波做局域规范变换，粒子就已置于力场之中。这再次证明，粒子与场的作用，不是通过协变导数引进规范场时才产生的。规范场的引进，尽管体现了粒子与场的作用，但那是让粒子恢复自由状态，实现规范不变性引进的抵消作用^[4]。

    粒子的加速运动与物质波的局域变换相联系表明，局域规范变换与运动粒子质量局域变化引起引力势局域变化相关。

4杨——米尔斯规范场引进协变导数的物理实质

(1) 整体规范变换

设 ψ为自由粒子的波函数，并对 ψ和 做整体规范变换，其中α =常数

                          (7.41)

             

α=常数，根据对德布罗意自由粒子物质波的分析。则有 ，对应自由粒子的匀速运动，且有流和荷的守恒。

构造自由场的拉格朗日密度

                            (7.42)

将式（7.41）中的 、 、、、、 代入方程（7.42）即可得到

             

将和代入拉格朗日方程

                                              (7.43)

即可得到不变形式的狄拉克方程

           (a)

           (b)                        (7.44)

（2） 局域规范变换

式（7.41）中，若α₀=α₀(x,t) ，即所转相角是时空坐标x ，t 的函数。此时，必有v=v(x,t) 

，粒子被置于场中做加速运动。对自由粒子的场量及其导数做局域规范变换：

                                                               (a)  

                                                                 (b)

                                                  (7.45)

                                                 (c)

 

将式（7.45）代入拉格朗日密度式（7.42），有

                                   (7.46)

将  、代入拉格朗日方程，显然不能保证拉格朗日方程和狄拉克方程的形式不变^[5]。

   若 ，则粒子做匀速运动，式（7.45）中（c）式第二项消失，这就是自由粒子整体规范变换。场量、及 具有规范不变性。可见α=α(x,t)时规范不变性的破坏，完全是由于  ，即已将自由粒子置于场中，相互作用从 “无”到“有”造成的。电荷的加速运动，使流和荷的守恒遭到了破坏，也使拉格朗方程和狄拉克方程的不变性遭到了破坏。要保证拉格朗日方程和狄拉克方程的不变性，必须引进作用相反的作用力，抵消原场对粒子的作用，使总作用力为零，以保证电荷的自由运动状态，实现规范不变性。引进协变导数

                                                       (7.47)

就可以达到这一目的。式中 即为引进的规范场。规范场的引入，虽然体现了带电粒子与电磁场的作用，但那是一种抵消作用，过去人们对这一物理机制似乎认识不足。引入协变导数后拉格朗日密度为：

                                                        (7.48)

是电磁场，则粒子的受力就是电磁力。带电粒子与电磁场相互作用的总拉格朗日密度可写成                                             

                        (7.49)

将式（7.49）代入拉格朗日方程，即可得到形式不变的狄拉克方程：

                                 (ir^μD_μ-m)ψ=0                      (7.50)

   我们看到，物理系统内部空间的对称性及拉格朗日密度不变性预示对应守恒流jⁱ_μ和守恒荷Qⁱ所揭示的的物理本质：流和荷的守恒刚好对应载荷粒子的匀速运动，规范不变性的破坏，意味着流、荷守恒的破坏，即粒子匀速运动的状态的破坏，这是自由粒子整体规范变换过渡到局域规范变换的实质。

讨论：

一般认为规范变换中的内部空间的转动与外部空间没有关系。但本节的讨论表明：

(1) 当自由粒子物质波由整体规范变换向局域规范变换过渡时，建在粒子上的坐标系K′也由匀速运动过渡到加速运动。通过协变导数,引进规范场,可以恢复粒子的自由运动状态.

(2) 考虑加速运动的坐标系中有等效“引力场”,而“引力场”对应非均匀时空，那么，自由粒子整体规范变换→局域规范变换（电磁场出现）→规范不变性的破坏，与建在自由粒子之上K′系由均匀时空（匀速运动）→非匀速时空（非匀速运动）（引力场出现）→时空均匀性的破坏就形成了有机的内在联系。引进规范场恢复粒子的匀速运动实现规范不变性，与引进反向引力场实现局部平直时空在思维方法上就是等价的。自由粒子整体规范变换与狭义相对论, 局域规范变换与引力场有着深刻的内在联系。

(3) 本文的讨论可能对认识真空对称性破缺的物理意义和哲学意义有重要作用。

由此我们提出如下问题：带电自由粒子由整体规范变换到局域规范变换,通过协变导数引进电磁场可实现规范不变性,若是非带电自由粒子，由整体规变换到局域规范变换，通过协变导数引进引力场又将如何？物质波有无规范不变性？

 

参考文献

[1]俞光大，电工基础（下册） [M]，北京：高等教育出版社，1966年p185.

[2]时庆云，量子力学[M]，北京理工大学出版社，1993年p157-158.

[3]何祚庥，量子力学的丰碑[M]，桂林：广西师范大学出版社，1994年p233-242.

[4]赵国求等，物理学的新神曲[M]，武汉出版社，2004年p329.

[5]胡瑶光，规范场论[M]，上海：华东师范大学出版社，1984年p45-51.

 

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