第六章 李群简引
第一部分

引言：预备知识
1 群，一种代数结构
     定义
     有限群和无限群；连续群
2 拓扑空间，拓扑群
      拓扑结构：拓扑结构就是相邻关系。
      拓扑空间：被赋予了某个相邻关系的集合。
      一个集合可以被赋予多种拓扑结构。
      定义拓扑的两种等价的角度：开集和邻域。
      拓扑空间的定义
      拓扑变换：保拓扑（相邻关系）的变换。
      在拓扑空间上附加其它结构：如度量等。
      拓扑群：既是拓扑空间又是群的集合（同时具有拓扑结构和群（代数）结构）。
      拓扑群是一个乘法和取逆都保持邻域的群。
      拓扑群的子群、拓扑子群和不变拓扑子群。
      拓扑群的同构：拓扑同胚并且群同构。
      拓扑群的整体性质。
         -连通性：连通，单连通，多连通，连通度
         -同伦，同伦类
      基本群
      覆盖，通用覆盖
3 流形（微分流形，切空间）
  3.1 Rⁿ
  3.2 流形，一个局部象Rⁿ
的拓扑空间
  3.3 流形的拓扑
  3.4 在流形上建立坐标系
     3.4.1 地图和地图册
     3.4.2 坐标卡，坐标卡集，相容
           Rⁿ
           n-维线性空间V
           S¹
           两个一维的笛卡尔坐标系
           两个极坐标
           一个笛卡尔坐标，一个极坐标
           S²和Sⁿ
           S²，复结构
     3.4.3 考虑定向性的坐标卡：以Sⁿ为例
            S¹：考虑定向
            S²，复结构
4 微分流形
   4.1 同一流形上的不同的光滑结构
        4.1.1 R¹上的不同的光滑结构
   4.2 同一流形上的不同的微分结构
   4.3 矩阵流形：Mⁿ，GL(n，R)和GL(n，R)各种子集合：一个微分流形的例子
       4.3.1 Mⁿ
       4.3.2 GL(n，R)
       4.3.3 去掉了detM = 0的Mⁿ还剩下些什么
       4.3.4 GL(n，R)的一些子集合
       SL(n，R)
       O (n)
       SO (n)
       4.3.5 能在矩阵流形（Mⁿ，GL(n，R)和GL(n，R)各种子集合）上附加群结构吗
5 复流形，Riemann面
   5.1 复流形
   5.2 Riemann面（回顾）
        5.2.1 单值化：划分单值分支和引入Riemann面
            划分单值分支
            引入Riemann面
       5.2.2 支点和割线
            一个n-值函数（n也可以是无穷），如果某些点是m-值的（m < n），那么这些点就是支点。
            绕行支点一周就会进入下一个分支。
            如果路径切割割线就进入下一个分支；如果不切割割线（即使闭合路径包含支点）也不会进入下一个分支。
        5.2.3 支点和割线举例：

        支点和割线的数量是由函数性质决定的，是函数的整体，也就是拓扑性质。割线的选择不影响拓扑性质。
        5.2.4 紧Riemann面
           扩充的复平面：Riemann球
           一条割线的情况：，球面
           两条割线的情况： ，轮胎面
        5.2.5 紧Riemann面上的复函数
        5.2.6 函数的整体性质：奇点，割线，Riemann面的拓扑
           函数的整体性质其实是由它的奇点决定的。
6 商空间
   6.1 等价，等价类
   6.2 商，商空间
   6.3 一些结论和一些例子
        6.3.1 周期
        6.3.2 拓扑中的'粘'
        6.3.3 实射影空间RPⁿ
            球面模掉（粘起）对径点：RPⁿ = Sⁿ/~
            RP¹
            RP²
            RPⁿ
            Rⁿ模掉过原点直线：RPⁿ = Rⁿ/~
            RPⁿ是一个流形
            射影Hilbert空间
            RPⁿ的定向性
            其它    我们把RPⁿ的一些小结论罗列在下面，其中有些已经在前面说过了：
            RP⁰同胚于一个点。
            RPⁿ同胚于一个圆S¹。
            RPⁿ中的RP^n-1的补是Rⁿ。可以看一个简单的例子：RP¹ = S¹，RP⁰ =一个点。S¹去掉一个点是R¹。
            RPⁿ是紧的。
        6.3.4 PL(n，R)
        6.3.5 复射影空间CPⁿ
        6.3.6 四元数射影空间实射影空间HPⁿ
7 切空间
   7.1 一点儿微积分，有人懂无穷小吗
   7.2 线性化，微分算子，一次试着理解微积分中的无穷小的努力
   7.3 导数
   7.4 切与余切
   7.5 切线，切空间
   7.6 切丛，纤维丛
8 李群，作为群和微分流形
         李群是一个群，也是一个微分流形。
   8.1 在微分流形上附加群结构
   8.2 在Rⁿ上附加群结构：矩阵流形和它的子流形
       8.2.1 Rⁿ
          加法群给出的Rⁿ上各点间的变换关系
       8.2.2 从Rⁿ到Mⁿ：矩阵流形
       8.2.3 GL(n，R)
       8.2.4 GL(n，R)的各种子群：典型群
          SL(n，R)
          群给出的流形上各点间的变换关系
          O (n)
          SO (n)
   8.3 在一个微分流形上附加不止一种群结构：S¹
   8.4 可容纳和不可容纳群结构的微分流形
   8.5 为微分流形附加群结构：群流形更多的例子
   8.6 一点儿历史
9 矩阵群
   9.1 一般线性群GL(n，R)
   9.2 上三角群UT (m，n)