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大场论提纲:第六章

已有 6697 次阅读 2009-9-23 12:15 |个人分类:大场论|系统分类:科研笔记

                        第六章 李群简引
第一部分

引言:预备知识
1 群,一种代数结构
     定义
     有限群和无限群;连续群

2 拓扑空间,拓扑群
      拓扑结构:拓扑结构就是相邻关系。
      拓扑空间:被赋予了某个相邻关系的集合。
      一个集合可以被赋予多种拓扑结构。
      定义拓扑的两种等价的角度:开集和邻域。
      拓扑空间的定义
      拓扑变换:保拓扑(相邻关系)的变换。
      在拓扑空间上附加其它结构:如度量等。
      拓扑群:既是拓扑空间又是群的集合(同时具有拓扑结构和群(代数)结构)。
      拓扑群是一个乘法和取逆都保持邻域的群。
      拓扑群的子群、拓扑子群和不变拓扑子群。
      拓扑群的同构:拓扑同胚并且群同构。
      拓扑群的整体性质。
         -连通性:连通,单连通,多连通,连通度
         -同伦,同伦类
      基本群
      覆盖,通用覆盖
3 流形(微分流形,切空间)
  3.1 Rn
  3.2 流形,一个局部象Rn
的拓扑空间
  3.3 流形的拓扑
  3.4 在流形上建立坐标系
     3.4.1 地图和地图册
     3.4.2 坐标卡,坐标卡集,相容
           Rn
           n-维线性空间V
           S1
           两个一维的笛卡尔坐标系
           两个极坐标
           一个笛卡尔坐标,一个极坐标
           S2和Sn
           S2,复结构
     3.4.3 考虑定向性的坐标卡:以Sn为例
            S1:考虑定向
            S2,复结构
4 微分流形
   4.1 同一流形上的不同的光滑结构
        4.1.1 R1上的不同的光滑结构
   4.2 同一流形上的不同的微分结构
   4.3 矩阵流形:Mn,GL(n,R)和GL(n,R)各种子集合:一个微分流形的例子
       4.3.1 Mn
       4.3.2 GL(n,R)
       4.3.3 去掉了detM = 0的Mn还剩下些什么
       4.3.4 GL(n,R)的一些子集合
       SL(n,R)
       O (n)
       SO (n)
       4.3.5 能在矩阵流形(Mn,GL(n,R)和GL(n,R)各种子集合)上附加群结构吗
5 复流形,Riemann面
   5.1 复流形
   5.2 Riemann面(回顾)
        5.2.1 单值化:划分单值分支和引入Riemann面
            划分单值分支
            引入Riemann面
       5.2.2 支点和割线
            一个n-值函数(n也可以是无穷),如果某些点是m-值的(m < n),那么这些点就是支点。
            绕行支点一周就会进入下一个分支。
            如果路径切割割线就进入下一个分支;如果不切割割线(即使闭合路径包含支点)也不会进入下一个分支。
        5.2.3 支点和割线举例:

        支点和割线的数量是由函数性质决定的,是函数的整体,也就是拓扑性质。割线的选择不影响拓扑性质。
        5.2.4 紧Riemann面
           扩充的复平面:Riemann球
           一条割线的情况:,球面
           两条割线的情况: ,轮胎面
        5.2.5 紧Riemann面上的复函数
        5.2.6 函数的整体性质:奇点,割线,Riemann面的拓扑
           函数的整体性质其实是由它的奇点决定的。

6 商空间
   6.1 等价,等价类
   6.2 商,商空间
   6.3 一些结论和一些例子
        6.3.1 周期
        6.3.2 拓扑中的'粘'
        6.3.3 实射影空间RPn
            球面模掉(粘起)对径点:RPn = Sn/~
            RP1
            RP2
            RPn
            Rn模掉过原点直线:RPn = Rn/~
            RPn是一个流形
            射影Hilbert空间
            RPn的定向性
            其它    我们把RPn的一些小结论罗列在下面,其中有些已经在前面说过了:
            RP0同胚于一个点。
            RPn同胚于一个圆S1
            RPn中的RPn-1的补是Rn。可以看一个简单的例子:RP1 = S1,RP0 =一个点。S1去掉一个点是R1
            RPn是紧的。
        6.3.4 PL(n,R)
        6.3.5 复射影空间CPn
        6.3.6 四元数射影空间实射影空间HPn
7 切空间
   7.1 一点儿微积分,有人懂无穷小吗
   7.2 线性化,微分算子,一次试着理解微积分中的无穷小的努力
   7.3 导数
   7.4 切与余切
   7.5 切线,切空间
   7.6 切丛,纤维丛
8 李群,作为群和微分流形
         李群是一个群,也是一个微分流形。
   8.1 在微分流形上附加群结构
   8.2 在Rn上附加群结构:矩阵流形和它的子流形
       8.2.1 Rn
          加法群给出的Rn上各点间的变换关系
       8.2.2 从Rn到Mn:矩阵流形
       8.2.3 GL(n,R)
       8.2.4 GL(n,R)的各种子群:典型群
          SL(n,R)
          群给出的流形上各点间的变换关系
          O (n)
          SO (n)
   8.3 在一个微分流形上附加不止一种群结构:S1
   8.4 可容纳和不可容纳群结构的微分流形
   8.5 为微分流形附加群结构:群流形更多的例子
   8.6 一点儿历史
9 矩阵群
   9.1 一般线性群GL(n,R)
   9.2 上三角群UT (m,n)



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