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量子力学误区(三) 黄湘友

已有 4441 次阅读 2016-4-9 14:21 |系统分类:观点评述

 本文论述的量子力学误区为不确定性关系或常说的测不准关系。这关系在量子力学中的地位非常高,有些量子力学教科书吧这关系称为不确定性原理并放在书的开头,似乎有了这原理才有量子力学。这关系在学过量子力学的每个人的心目中都有深刻的印象,也把它看作不同于经典力学的重要特性。由于通俗科普读物的广泛宣传,这关系在社会上都很有影响。几年前,本人在某大学任教,有时要去听课和评课。有一次去听讲体育课。老师讲体育中的测量工具和方法。跑步测时间,投掷测距离,跳高测高度的注意事项。讲完后还补充一句:当然,讲深了还有个测不准关系问题。可见这关系影响之深远。

  我自己在学习不确定关系这一节课时,一方面看到用厄米算符和波函数推出这关系感到很新奇,另一方面又对海森堡用光学显微镜测量粒子位置时所用的光必然对粒子有冲击的解释不完全信服。物理上传统做法是理论值与系统误差和偶然误差分开处理。海森堡的做法破坏了这种秩序。考虑一个由哈密顿量操控的体系,经典力学能求出这体系的理论解,实验误差额外考虑。量子力学能求出这体系的波函数解并计算力学量的理论期望值,实验误差也应额外考虑。也有人可能会认为,波函数中已包含了误差也可以呀。这想法就要分两步走。先求不含干扰的哈密顿量的波函数解,再求含干扰的哈密顿量的波函数解,比较二者的结果。不能用不含干扰的哈密顿量的波函数解来计算实验误差。再者,我们可用简谐振子的定态波函数算一下它们的位置和动量的不确定量。这些不确定量都与能量有关。为何显微镜的观测误差与被测粒子能量有关?当量子数n 大时,不确定量都很大。用于测量的光为何能造成如此大的测量误差呢?如果不确定量由光学显微镜造成,为何不确定量中不出现光波和显微镜孔径以及焦距等参数呢?细究起来问题很多,连玻尔都不同意海森堡的解释。玻尔也物理解释上找不到出路,他把这归结为物理世界的互补原理。他的对应原理和互补原理除了被有些通俗读物吹嘘为深刻思想外,从事物理的人谁也不明白它们的具体含义。有些西方学者指出玻尔的两个缺点。一个是作为理论物理学家,他的数学不好。另一个是好诡辩。他的测量说脱离了数学,他似乎能解释一切,实际上什么也解释不清。一个彻底的物理学家绝不能这样对待物理学。

  玻尔和海森堡都认为一个波函数描述单个粒子,就想当然把不确定关系当作是单个粒子的性质。解释这关系的根源就很难了。按照爱因斯坦的观点,一个波函数不描述单个粒子而描述粒子系综,不确定关系就变得简单而容易理解了。在位置空间,波函数模的平方就是系综中粒子的几率密度。位置空间的不确定度就是这几率分布的标准方差。在动量空间,波函数模的平方就是系综中粒子在动量空间的几率密度。由此算得的不确定度也就是这几率分布的标准方差[1,2]。描述单个粒子的经典力学和双波量子力学中都没有不确定关系,只在求了系综平均后才出现这一关系。这里以大家熟悉的量子经典对应方法举例说明。以简谐振子的定态和最小波包态为例。经典简谐振子的位置和动量对初相位平均后都为零。经典粒子动量的平方对初相位平均正比于动能的平均。位置的平方对初相位的平均正比于势能的平均。这样就得到了动量和位置的方差。当粒子的能量较大时,这些方差都较大而且与量子力学的结果一致。

  简谐振子的最小波包态也称相干态,薛定格最早注意到这个态,因为他设想单个粒子应当由最小波包描述。一般情况下,小波包会随时间扩展。只有简谐振子例外,因为粒子在各能态上运动周期相同。由于量子力学算出在相干态中粒子的位置和动量的不确定度非常小,而且不随时间扩展,许多人用它作为量子力学可描述单个粒子的典型。已经证明,这最小波包态也描述简谐振子系综。系综中的振子都有相同的振动相位,但它们的能量按泊松几率分布在各能级上。虽然这系综在位置空间和动量空间几率分布的方差小,当按泊松几率分布算出来的能量方差却很大。连这个最小波包都描述系综,足可见任何波函数都只能描述系综。

  一个波函数不能描述单个粒子而只能描述粒子系综根本上还是个数学问题。一个波函数包含的信息量太少,它不能描述 (x,p) (t,E) 相空间中的单个粒子。先看电磁波或光子信号。设有一信号函数u(t), 它可被归一化。将看出它描述光子系综。它经exp[ivt]傅里叶变换后为U(v), v 是频率。利用柯西-施瓦茨不等式,可得出这信号中光子能量的不确定度和时间的不确定度满足量子力学的不确定关系[3]。设想我们用一束激光测公路上方PM2.5微粒分布,被散射回接收器的光已非常微弱,只是一些分立的光子。所用激光的频率不确定度小于1HZ,单光子计数器上信号宽度小于10纳秒。由此看来,单个光子的能量和时间不确定度远小于量子力学标准数值。这是我本人亲历过的实验。这说明量子力学的结果只适用于光子系综而不适用于单个光子。其次考虑位置空间的波函数f(x),不要求它满足薛定格方程,但要满足可归一化条件。它经exp[ipx/h]傅里叶变换后为F(p), p是动量。利用柯西-施瓦茨不等式,同样可得出坐标与动量的不确定关系。这是粒子系综中的关系。对单个粒子,经典力学和双波量子力学中都没有这种关系。这方面是否有实验根据呢?有。在铜表面蒸镀几个原子厚度的金。在垂直于表面方向测量来自金原子俄歇电子的动量p由于能量不同,来自金和铜的俄歇电子可区分。实验得出金原子厚度与垂直表面方向俄歇电子动量误差的乘积明显小于量子力学的下限 [4]

  为了从数学上说明傅里叶变换的特点,我们令s 为一个小面积。函数 f(x) exp[iyx/s] 傅里叶变换为 F(y)。由此可得出x y 的不确定度有互补关系。这完全是一种数学关系,与物理过程无关,更谈不上互补原理。

  总之,如果认为一个波函数描述的对象是单个粒子则量子力学中的不确定关系很难有合理解释,这是个量子力学误区。认为一个波函数描述粒子系综,则量子力学中的不确定关系很容易得到清楚解释。单个光子或单个粒子不遵守不确定关系。

 

 

[1] Ballentine L. E., Rev. Mod. Phys. 42,358 (1970).

[2] Popper K. H., Open Questions in QuantumPhysics. (Reidel Publishing Company, Dordrecht,    

 Holland,1985).

[3] 黄湘友完全性量子力学 (科学出版社,北京,2013).

[4] Cotsch K. et al. Problems in quantumPhysics. (World Scientific, Singapore. P.510, 1988).




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