爱因斯坦与玻尔谁站在量子力学真理一边

北京大学物理学院教授 黄湘友

量子力学起源于普朗克光辐射能量分立性假设。经过爱因斯坦和康普顿等人的工作，光

量子概念成为了物理学界的共识。由光能的分立性玻尔想到，原子中电子的能量是否也具有

分立性呢？他用经典力学方法计算一个电子绕质子的圆周运动，加上一个简单的量子化条件，

竟然算出了氢原子从基态到高能态的能级，解释了氢原子的线状光谱。玻尔的结果表明，氢

原子中的电子只能在一些分立的圆形轨道上运动。索木菲把玻尔的计算推广到椭圆轨道，由

量子化条件得出氢原子的能量和角动量都只能取分立值。椭圆的长半轴由能量决定，能量的

分立性表明长半轴的取值也是分立的。椭圆的短半轴与角动量有关，角动量的分立性表明椭

圆的形状和法线方向都不是任意的。这就是原子物理中氢原子的空间量子化轨道模型，也称

玻尔-索木菲模型。

另一方面德布罗意关于粒子具有波动性的假设被实验证明后，薛定格提出了一个描述粒

子波动性的方程并首先把这方程成功用到氢原子上，方程的解是能量，总角动量和角动量第

三分量的共同本征函数。这些本征值与玻尔-索木菲模型的结果一致。用薛定格方程解波函

数的方法用在其它体系上都非常成功。物理学家们很快就认识到，在位置空间这波函数模的

平方就是在各点发现粒子的几率。在动量空间这波函数模的平方也是在各点发现粒子的几率。

由这几率解释就可以写出求各力学量平均值的公式。从此，波函数，薛定格方程和计算力学

量平均值公式就成了量子力学的基础。

然而，一个波函数描述的对象是什么，隐藏在波函数中的几率的来源是什么？这是个量

子力学解释的大难题。

量子力学中一个波函数描述的对象是什么，这是个到现在还没有定论的问题。从量子力

学初建时起对这问题就主要有两种观点。一种是以爱因斯坦为首的系综观点，认为一个波函

数不描述单个粒子而统计性描述粒子系综。另一种是玻尔及其追随者的观点，认为一个波函

数描述对象是单个粒子及相应的经典仪器，而且是最可能完全的描述[1,2]。至于波函数几

率性的来源，前一种观点认为是由于我们对单个粒子状态的信息量掌握不够所致，存在有我

们不知道的隐参数，但寻找隐参数的努力一直拿不出有说服力的证据。后一种观点认为几率

性来源于仪器和测量的干扰。微观粒子又小又轻，易受干扰，这说法浅显明了。虽然这说法

难以经得起推敲和存在佯谬，由于历史原因和这说法的浅显直观，它成了物理学中的正统观

点。数学和经典物理的理论表明，包含佯谬的理论一定有内伤，问题只是这内伤被发现的迟

早而已。这种观点还有一个弱点，它不能解决量子经典对应问题。正是这一问题，它可以成

为揭示这一内伤的突破口。本文作者有必要谈一下对此的认识。

1957 年，我还在读大二。国内一位有名的重要科学家来北大作报告。他谈到量子力学时

说，按量子力学观点，太阳明天从西边出也是可能的。我感到非常吃惊，太阳从西边出意味

着地球自转方向要反过来，这需要多大的外力作用呀。我期盼着学量子力学时来理解这一问

题。当后来轮到上量子课时，老师首先就强调要和经典力学划清界限，尤其不能谈论粒子的

轨道。当学生问：实物粒子到底是粒子还是波时，老师说这依赖你的测量，你想测波动性时

它就是波，你想测粒子性时它就是粒子。老师停顿了几秒钟后还补上一句：这就是量子力学！

我对这些说法内心并不信服。玻尔用经典力学计算氢原子的结果说明量子力学和经典力学的

距离并不遥远。把电子当作个点粒子计算它的轨道也效果不差。我日后逐渐明白，因为哥本

哈根观点下无法回答量子力学与经典力学的对应问题，所以他们要给学生“洗脑”，强调量

子力学要与经典力学划清界线。

许多量子力学教科书告知读者，在普朗克常数趋于零的极限下，量子力学过渡到经典力

学。本文作者指出，没有人能写出一个波函数来验证这一说法。因为原子能级和波函数都含

有普朗克常数，这一极限实际上没法使用[3]。有些著作使用新单位制使普朗克常数等于一，

这一极限压根就没法用。玻尔早就提出过量子力学和经典力学之间有对应原理，也找不到一

个波函数来验证他的原理。朗道提出，波长短时如同波动光学过渡到几何光学可谈论光线一

样，量子力学也过渡到可谈论轨道的经典力学。然而，一个波不论波长如何短它都描述一个

光束而不是一条光线。描述一条光线需要额外的补充条件。如果一条光线对应一个粒子的轨

道，则一束光线就应该对应粒子系综的轨道。许多著作用最小波包来描述单个粒子。小波包

是许多定态波函数的叠加，这意味着这粒子的能量很不确定。因此，小波包也实现不了量子

经典对应关系。

上世纪八十年代，国内外若干学者使用大能量极限或称短德布罗意波长极限研究量子经

典对应关系。这方法物理和数学上都合理，得出的结果可用各种波函数来验证。他们共同的

结论是一个波函数不描述单个粒子而描述粒子系综。这符合爱因斯坦的观点。

现在回头进一步考察氢原子。标准的经典力学和量子力学处理一个由哈密顿量操控的粒

子。经典力学可算出这粒子各力学量的理论值；量子力学可算出各力学量的理论期望值。哈

密顿量之外的干扰或相互作用与这些理论值没有关系。处理氢原子时，经典力学和量子力学

都把氢原子核作为坐标原点，只考虑电子与质子间的库伦相互作用而忽略辐射的影响。氢原

子问题在经典力学和量子力学中都精确可解，在原子物理中成为两种模型。一种是玻尔-索

木菲空间量子化椭圆轨道模型。由学科网可查到电子和质子的直径分别小于10 的负18 次方

和10 的负15 次方，而一个玻尔原子的直径大于10 的负8 次方，可见点粒子的轨道方法适

用。一个电子在原子中围绕原子核做椭圆运动，这一点没有解释问题。另一种是薛定格方程

波函数解给出的电子云模型。电子云的尺寸接近玻尔原子的大小。有人把电子云看作真实的

云。一个点电子在氢原子中的能量只有若干电子伏特，怎么一下子会变得如此大呢？有人把

电子云说成电子在原子内无规则跳动形成的云，这跳动的动力来自何处？因为哈密顿量以外

的干扰已对理论结果不起作用。玻尔所说的经典仪器在这里也不起作用。再者，无规的跳动

如何能形成由量子数决定的电子云形状呢？当已有论文指出一个波函数不描述单个粒子而

只能描述粒子系综后，我们有理由推想电子云是否由许多做轨道运动的电子的系综平均结果

呢？下面介绍这想法的结果。

经典力学算出库伦场中电子做椭圆运动，电子的能量，总角动量和角动量第三分量都是

守恒量。椭圆的长半轴由电子的能量决定。椭圆的扁率由总角动量与能量的比值决定。椭圆

平面的取向由角动量第三分量与总角动量的比值确定。我们先由经典的椭圆解中挑出一个椭

圆解。电子的能量，总角动量和角动量第三分量等于波函数解中量子数(nlm)给出的相应力

学量值。(nl)值决定了椭圆的大小和形状。m 值决定了椭圆法线与z 轴的夹角。原子核和椭

圆焦点之一都与坐标原点相重合。为了确定所选椭圆位置我们还需两个参数。一个是椭圆平

面与XY 平面的交线，这交线通过坐标原点。我们把这交线与OX 之间的夹角称为“夹角1”。

把椭圆长轴与这交线之间的夹角称为“夹角2”。现在，如果知道电子在这椭圆上经过近日

点的时刻t'，则在任何时刻这电子在椭圆上或者空间上的位置就知道了。这就有了这电子位

置的完全性知识。总之，有了n,l,m,t' 和“夹角1”以及“夹角2”，我们就有了电子位置的

完全信息。

请读者注意下面的操作。首先，我们把这电子的运动对时刻t' 进行平均，得到电子在这

椭圆上的几率分布。由于开普勒定律，这分布在远日点附近密度大，而在近日点附近密度小。

其次，我们把这一分布绕通过原点的法线在椭圆平面内旋转一圈，即对“夹角2”取平均，

得到在轨道平面内的电子密度分布。最后，我们把这一平面分布绕z 轴旋转一圈，即对“夹

角1”取平均，但保持角动量在z 轴的投影即磁量子数m 不变。我们得到三维空间中的电子

密度分布。已经证明，当主量子数n 略大，波函数满足WKB 近似（准经典近似）时，这三

维电子密度分布等于有相同(nlm)量子数波函数模的平方。也就是说，电子云是做轨道运动

的电子系综的平均。这结论对较大的n 都成立，而对l 和m 没有要求[4]。从计算过程可知，

电子经过近日点的时刻t'，“夹角1”以及“夹角2”都是描述单个粒子位置状态的参数，由

于它们被平均掉了，它们成了隐参数。这就肯定了几率的来源是隐参数造成的。这结果完全

符合爱因斯坦的观点，一个波函数不描述单个粒子而描述许多粒子的系综。这结果对其他系

统和波函数都成立。

亲爱的读者，我们不难理解这结果的重要意义。费曼等许多大物理学家都说，世界上没

有人懂量子力学，其原因根子就在这里。当把只能描述系综的波函数说成描述单个粒子时，

必然会用一些奇怪的假设和原理来弥补这一漏洞。这就使量子力学带有玄学的色彩，在观点

上谁也说服不了谁。作者希望青年学子们认真思考这一问题，也欢迎持不同观点者贡献智慧。

大家为量子力学的科学化共同努力。

[1] Ballentine L. E. Rev. Mod. Phys. 42, 358（1970).

[2] Griffiths D. J. Introduction to Quantum Mechanics (Pearson Education, Inc.,

and China Machine Press, 2005 ).

[3] Huang Xiang- You. Phys. Rev. A 78，022109（2008).

[4] 黄湘友，物理学报，40, 1553 (1991).