不过这个系统有几个致命的问题：(1)不稳定（2）不真实。

不稳定是什么意思呢，欧拉积分本身在这样一个系统中不稳定。那小沈阳问了：“为什么呢？”因为织物结构在自重下是不会伸长的，同时又是非常易于屈服的，也就是说，这个系统中的拉伸弹簧的刚度和粘性都要非常大才行，而弯曲和剪切弹簧的刚度相当又要小很多，这样一个系统是一个典型的刚性系统，步长稍微大一些，立即崩溃。我还记得刚开始看到崩溃的样子时所有的三角形突然爆炸性的激增其面积和边长，看起来还蛮像爆炸的。当时想，如果课题做不出来，不如改行模拟爆炸，其实就是渲染一下各种积分器失稳或者崩溃时的状态（呵呵，当然这是不可能实现的，因为崩溃的时刻是不可控的，你的纹理坐标是无法赋值的）。

那不真实又是什么意思呢？就是这个织物模型你固定住它的两个角，按重力加速度9.8让它往下垂，分分钟不到就看到两个角过度变形了（super-elongation）。所以当年Provot的文章其实是要解决这个问题而给出的一个方案：人为地让过度变形者回到变形阀值所允许的那个地方。这个方案是个天真的算法，有两个致命缺点，一个是不保证收敛。因为改动一个点的位置，势必改变所有与之连接的边长，即弹簧的形变，因此它需要迭代，而其迭代未必收敛，就是说你要控制应变在5%之内，可是只能达到7%或者8%。另一个缺点是它无法跟碰撞检测与响应结合起来。因为它又可能使得已经脱离穿透状态的顶点和边重新回到不可预测的穿透状态，这个后面再聊。

所以这里面就给出了两个问题需要解决：一是积分的稳定性，一是形态的稳定性。

向前欧拉积分和向后欧拉积分的区别在于向前积分方法的步长仅仅依赖于在时刻t0 时的约束条件，而向后积分方法的步长则取决于每一时间步长终结时的约束条件。一般地，对于刚性方程组，盲目向前的积分方法在系统出现失稳的征兆时是无法自我纠正的，因此，1998 年，当时还在Carnegie Mellon University干活的David Baraff和Andrew Witkin提出了隐式积分的方法，计算出了在当时乃至今天都是惊世骇俗的图形效果。而代表世界计算机图形学最高水平的Siggraph会议也将那一年会刊的封面用他们的渲染效果予以展示。

Baraff等人的文章题目叫做“Large Steps in Cloth Simulation”，从我自己实现的结果看，大步长就未必，但是稳定性超好。不知道有没有做过类似研究的同行有跟我一样的感受。自从他这篇文章出来之后（到我写这篇博文的时候，已经被引用了884次，我自己可能贡献了十几次，因为很难不引用他们的工作，那个里程碑放在那里，绕不过去的），积分方法的取舍成了一个研究的热点，一大堆数学好的人在里面狂搞，值得一提的是2002年来自韩国首尔国立大学（Graphics and Media Lab, Seoul National University）的Kwang-Jin Choi 和Hyeong-Seok Ko 发表了“Stable but Responsive Cloth ”一文，首次结合了纺织材料学中对于织物屈服状态的理解建立了相应的织物内力模型，他们用的是二阶的向后欧拉积分（BDF： second-order backward difference formula），效果也是非常精彩的。这篇文章被引用了262次。同年，来自加拿大的Robert Bridson 在斯坦福大学做博士生时，发表了“Robust Treatment of Collisions, Contact and Friction for Cloth Animation”一文，其算法对虚拟织物所 涉及的建模、碰撞检测与响应两大基本内核进行了深度优化。被当年的“星球大战：克隆人的威胁”电影中被用作Jedi 武士的服装仿真特效（现在他是加拿大UBC大学（The University of British Columbia）的助理教授，这篇文章被引用了307次。

积分方法的研究到现在基本上可以说硕果累累，除了Baraff的经典之外，IMEX（implicit-explicit method）方法也在逐步得到关注。这么做是为了简化计算，也就是说，同一个系统可以有两个求解器，彼此之间互传数据，这样对于显示积分能够完成任务的区域，就不需要隐式积分的参与，当然，哪些区域需要显式求解，哪些区域需要隐式求解，这可是个大问题。