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概率中的卷积

已有 10909 次阅读 2011-4-2 16:34 |系统分类:教学心得

如果一个二元随机变量 $(.xi,.eta)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ,而且 $.xi$ 和 $.eta$ 是独立的，那么

$f(x,y)=f_{.xi}(x)f_{.eta}(y)$ ，

其中 $f_{.xi}(x)$ 和 $f_{.eta}(y)$ 分别为边际概率密度。

令一个新的随机变量 $.zeta=$ $.xi$ + $.eta$ , 则 $.zeta$ 的概率密度为

$f_{.zeta}(z)=$ $.large.int_{-.infty}^{.infty}{}$ $f_{.xi}(z-y)f_{.eta}(y)dy$ ,

上式也等价于

$f_{.zeta}(z)=$ $.large.int_{-.infty}^{.infty}{}$ $f_{.xi}(x)f_{.eta}(z-x)dx$ ,

此时 $f_{.zeta}(z)$ 等于 $f_{.xi}(x)$ 和 $f_{.eta}(y)$ 的卷积，即 $f_{.zeta}(z)=$ $f_{.xi}(x)$ $.ast$ $f_{.eta}(y)$ 。

在信号处理中令输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，则输出y(t)是x(t)与h(t)的卷积

$y(t)=$ $.large.int_{-.infty}^{.infty}{}$ $x(s)h(t-s)ds$

其实我关心的还是卷积的数学形式上的意义，写到这儿，我隐约感觉卷积的形式与两个变量 $.xi$ ， $.eta$ 和的密度有关，傅里叶级数的部分和函数也是一个卷积，所以卷积在数学上应该是一种求和类型的算子。在数学物理的热传导方程中，温度u依赖于时间t和空间x的偏微分方程，可以将u的方程转化为u的傅里叶变换U的只依赖于时间的常微分方程。从概率的角度来说，u是关于(x,t)的概率密度，而所求的傅里叶变换U即为关于时间t的边际密度。

定积分的数学形式本身就是一种求和的算法，比如物理上对于密度的积分就是质量。那么卷积的数学形式可以看做定积分形式的推广，讨论卷积一定要有两个变量，比如信号处理中的时空变量x和t，卷积所依赖的变量是x+t，有点像数学中的行波解形式，这都是我按照概率的角度生搬硬套的，应该不符合物理实际。

问题既然积分形式在物理上有广泛应用，卷积形式应该也是一个普遍应用的数学形式，在物理上应该还有更加广泛的应用。比如在经济学中数学模型，我还没有看到过有卷积的，这也许是因为经济学家的模型中概率密度普遍是一元随机变量，如果构造的数学模型中含有二元随机变量概率密度，那么在经济学中卷积也水到渠成了。

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