引导语：作者1988-1991年在北京航空航天大学攻读空气动力学专业博士学位时，研究的课题是“激波与湍流边界层干扰”。研究过程中，对湍流问题的本身产生了深厚的兴趣，并阅读了大量文献。主要原因，众所周知，湍流问题是物理学百年难题，吸引了众多科学家研究此项课题，著名诺贝尔奖获得者海森堡终生都未能解决，而且此问题对航空航天等学科又如此重要。多年来一直对湍流问题进行着考虑，然而仍然是百思不得其解。后来在澳大利亚悉尼大学流变学课题组进行非牛顿流体力学的CFD研究时，一个偶然的机会，从粘弹流体力学的研究启发，萌发了对湍流转捩的机理的想法。然后，经过深入思考，反复验证，终于建立起了用于研究流动失稳和湍流转捩的能量梯度理论，成功解决了湍流难题，理论预测结果与所有得到的实验数据一致。这是一个典型的种花得柳的案例。研究的课题是雷诺数接近于零的粘弹性流动，最终得到了在高雷诺数下湍流转捩的理论。可以设想，如果当初通过立项，专门研究湍流课题，可能永远也解决不了湍流问题。此案例说明，自然科学领域里的原始创新工作不是计划出来的，不是通过课题论证事先安排出来的，也不是进行攻关就可以成功的。湍流问题的攻关，国际上已经持续进行了140年（1883-2023），而且集中了全世界若干位最优秀的科学家，也没有能够成功（包括若干位诺贝尔奖获得者，包括著名物理学家周培源教授，著名华人应用数学家林家翘教授等）。下面内容是翻译自作者出版的专著里面的第四章[1]。

4.2.3流动不稳定性的动能梯度观察

牛顿流体通过两个平行平板间的平面Poiseuille流动如图4.3所示。对于给定的流动几何形状和流体性质，随着平均速度U的增加，如果Re超过临界值（在一定扰动下），流动可能转捩为湍流。层流和湍流的速度分布分别如图4.4所示。观察到没有垂直于壁面的压力梯度。然而，我们发现动能在通道宽度上并不均匀。动能的梯度与压力的梯度具有相同的量纲，它可能是导致流动不稳定性的候选因素，这个影响类似于粘弹性流动中的垂直曲面的压力梯度。受此启发，进一步研究动能梯度与压力梯度之间的关系，通过总机械能的变化，得出了一个新的稳定性准则。

图4.3平面Poiseuille流中给定流体和几何形状的速度分布随雷诺数的增加而变化。Re=ρUL/μ，L=2h，其中h是通道的半宽度。

图4.4层流和湍流的平均速度分布（Dou 2004a）。随着Re的增加，某种“驱动力”将层流速度分布曲线拉向壁面并变平，从而导致湍流转捩。

可以想象，当不稳定发生时，存在一个“驱动力”，将层流速度分布向外拉向壁面（图4.4）。这种“驱动力”应该是什么，根据以上讨论和大量实验观察，

                                               (4.2)

在给定的初始流动条件下，可能形成这样一种“驱动力”以引起流动扰动的增加，而由于粘性摩擦引起的机械能损失的梯度可能会抵抗或吸收扰动的发展。这里，V是局部速度的大小。

由于动能梯度和压力梯度之和是总机械能的梯度，因此可以推测，牛顿流和非牛顿流中的流动不稳定性都是由总机械能的流线横向梯度引起的，而沿流线的摩擦力引起的能量损失可能会抑制扰动。这两种作用决定了流动不稳定性的发生与否。这两种作用的相对大小应该是表征这种不稳定性的一个指标。

对于牛顿流，随着平行流平均速度U的增加，壁面法线方向的机械能梯度增加。如果该机械能梯度足够大，则可能导致流动的扰动放大。剪切应力引起的粘性摩擦将通过吸收速度扰动来稳定流动。

当壁面法线方向的总机械能梯度超过临界值时，层流将无法平衡这种扰动，可能会激发流动不稳定性。最后，当流线法线方向能量梯度持续保持足够大时，湍流将被触发。壁面法线方向上的机械能梯度使得流体层之间的能量交换并维持湍流。因此，在主流的壁面法线方向上存在机械能梯度是湍流转捩的必要条件。

现在，我们证明这个必要条件至少对于平行流是正确的。如果忽略重力能，壁面法线方向上的总机械能梯度为 ，对于平行流，。如果这个机械能梯度是零，则一定是；。因此，因为扰动由于零速度梯度而无法从基流获得能量，由于粘性耗散，扰动能量的增加率将是负的（Drazin and Reid 2004；Betchov and Criminale 1967）。因此，在这种情况下，扰动必须衰减。通过这种方式，证明了壁面法向上的机械能梯度是流动转捩的必要条件。

4.2.4基于总机械能梯度的稳定性准则

在旋转流中，离心力和哥氏力都能够通过产生压力梯度来影响流动稳定性。当流动方向的法线方向存在压力梯度时，即使雷诺数较低，该压力梯度也可能导致流动不稳定，或根据压力梯度的方向减弱流动不稳定。因此，流动不稳定性的机制应考虑到弯曲流动情况下流线横流方向压力梯度变化的影响，这可能导致流动不稳定性或加速不稳定性的产生。在不可压缩流（如分层流）的某些情况下，应考虑重力能。因此，如上所述，总机械能在垂直于流线的方向上的梯度可能导致平行流和弯曲流的不可压缩流的流动不稳定性。

对于给定的流动几何形状和流体性质，我们提出对所有牛顿流和非牛顿流的流动稳定性条件可以统一地表示为（Dou 2004a）（考虑结合图4.3和4.2）， 

                                (4.3) 

其中是g_y是y方向重力加速度的分量，C是与流体性质和几何形状有关的常数。x轴沿着流动方向，y轴沿着流动的法线方向。等式（4.3）表示总机械能在流线横向方向上的梯度导致不稳定性。这就是“能量梯度概念”和“能量梯度理论”名称的由来。我们认为，等式（4.3）对于任何条件和任何流体介质（包括牛顿流体、粘弹性流体和磁流体流动等）下的流动不稳定性是通用的。不可压缩流动中的所有不稳定性都是由总机械能在流线横向方向上的梯度引起的。

与壁面流动中线性扰动的特征值分析不同，根据观察，在有限扰动条件下，粘性对平行流中的流动始终起稳定作用。因此，总机械能沿流线法线方向的梯度起着不稳定的作用，而粘度通过粘性摩擦对扰动起着阻尼和稳定的作用。因此，提出粘性流的不稳定性取决于流线法线方向上的机械能梯度和由于粘性摩擦引起的沿流线的机械能损失的相对大小。在流线法线的流动方向上较大的机械能梯度试图导致扰动的放大，而在流向上的较大机械能损失倾向于吸收这种扰动并保持原始层流状态。层流向湍流的转捩取决于给定初始扰动下扰动能量放大和粘性摩擦阻尼两个作用的相对大小。当流线法线方向的机械能梯度超过临界值时，层流无法平衡这种扰动，可能会激发流动不稳定性。最后，当流线法线方向上的机械能梯度随着流动的前进而持续保持足够大时，就会触发湍流。

另一方面，对于没有能量输入的隔离系统，观察到流体流动总是由总机械能沿流向的梯度引起的。流动不稳定性总是由总机械能沿流线法线方向的梯度引起的。如果总机械能沿流向没有梯度，流动就会停止。如果沿着流线的法线方向没有总机械能的梯度，流动就永远不会不稳定。在压力驱动流中，总机械能沿流向的梯度等于粘性摩擦引起的机械能损失率。因此，流动不稳定性可以通过两个方向上总机械能梯度的作用来描述。通过这种考虑，可以建立流动不稳定性模型。

根据上述讨论，无量纲稳定性参数建议为， 

.                                           (4.4) 

其中，是单位体积流体的总机械能，H是单位体积流体沿流线的总机械能量损失，与E具有相同的量纲，n是沿流线法线方向，s是沿流线型方向。因此，K是一个流场的无量纲函数，称为能量梯度函数。（注：公式（4.4）对任何剪切流动，是一个表征流动稳定性的通用函数，包括压力驱动流动和剪切驱动流动）。

对于没有能量输入或输出的系统，总机械能的损失大小等于总机械能沿流线的下降，例如在压力驱动流中。因此，对于压力驱动流，等式（4.4）可以改写为： 

.                                           (4.5) 

利用方程（4.4）和（4.5），可以分析各种基本流动的稳定性，并确定失去稳定性的最危险位置的位置。值得注意的是，等式（4.4）和（4.5）中K值的符号在具体问题中并不重要，而其大小具有重要意义(图4.5)。在计算中，我们总是取正值。

图4.5 公式（4.5）中能量梯度函数K的示意图。K=tan (alpha)。

讨论：

公式（4.4）和（4.5）中的能量梯度函数K是一个无因次的流场坐标的函数，并正比于全局雷诺数(Global Reynolds number)，其物理意义为一个当地雷诺数（局地雷诺数）。

公式（4.4）和（4.5）中，计算K时，把流场的速度和压力分布带入分子和分母，即可计算出K的流场分布。

当K=0，基本流动没有放大能力，任何扰动都会被damp掉，流动是稳定的。

当K<Kc并大于零，任何扰动都能够衰减，流动是稳定的，流动保持为层流。

当K>Kc并小于无穷大，流动失稳及湍流转捩取决于扰动大小。

当K为无穷大，总机械能的梯度垂直于速度矢量，成为流场中的奇点，流动失稳转捩为湍流。

上面Kc为层流到湍流转捩的最小临界雷诺数对应的K的临界值。

把Navier-Stokes方程代入公式（4.4）或（4.5）中，即可推导出湍流转捩的准则 [1]。

上面介绍的这些工作是作者2006年之前的工作，此时的能量梯度理论还是一个唯像理论（公式（4.4）和（4.5）是根据对牛顿流动及非牛顿流动的理论分析和观察直接定义的）。

2006－2011年，通过第一性原理，作者经过推导，对法向扰动，得到了在临界条件下，K 与扰动幅值成反比的关系，此关系与壁面平行流动的实验数据取得了一致；并解释了实验得到的湍流转捩的物理机理，即在湍流转捩的临界条件，流场中出现了奇点（K为无穷大）。从此能量梯度理论成为了一个基于第一性原理的理论（根据动量守恒和能量守恒定律，在包括基本流动和有限扰动的非定常的流动中，直接推导出来了公式（4.4）和（4.5））[1]。（实验数据，K与扰动成反比关系，Hof et al.2003; Lemoult et al.2012等）。这一部分参见专著第七章[1]。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049

3.科学网-海森堡的第二个问题终于有了答案，窦华书的博文。

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1361491.html

4.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

5.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html

6.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm

7. 湍流是怎样产生的? 最新研究进展！https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1341235.html

8.千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,

https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html