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科学的局限性 精选

已有 9565 次阅读 2018-9-6 07:42 |系统分类:海外观察

     发现科学(特别是物理学)的局限性,是20世纪科学(特别是物理学)研究的重要成果和发展的推动力。现代科学、数学和理性已经成熟到能够看到自己的极限的水平,令人惊叹。最近,科学家、数学家和哲学家们已经开始讨论人类认识世界的能力的局限性。

2013年,麻省理工学院出版社出版了诺森•S•亚诺夫斯基著的《The Outer Limits of ReasonWhat Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us(理性的外部限制:科学、数学和逻辑不能告诉我们什么)》。这本书讨论了科学理性的局限性,物理学、逻辑学、计算机和我们的思维过程的局限性,介绍了许多不能被科学、数学和理性回答、无法预测或知道的、永远不会被理解的问题。这本书的第7章的标题就是“Scientific Limitations(物理学的局限性)”(参考资料[1])。

(一)不确定性

从牛顿的时代开始,人们把宇宙看成一个大而完美的时钟。皮埃尔•西蒙•拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,17491827)曾经写道:我们可以把宇宙的现状视为它过去的结果和它未来的原因。如果知道宇宙中所有物体在某个时刻的位置和动量,则可以计算它在过去任何时刻和将来的位置和动量。拉普拉斯和其他人认为,这一进展将永远持续下去,最终每个科学问题都将得到解决,未来将暴露在每个人的眼前。你可以简单地坐下来用正确的物理定律计算任何东西。然而,到20了世纪,被证明这种乐观似乎是不合理的,其中包括混沌系统和测不准原理。

【蝴蝶效应】

1963年,数学家、气象学家爱德华•罗伦兹(Edward Norton Lorenz1917–2008)在一篇论文中,讨论了一个系统因为初期微小的差异,会在短期内引起发截然不同的后果。罗伦兹后来又写了一篇关于这种现象的论文,题目是“可预测性:巴西蝴蝶翅膀拍动在得克萨斯州掀起了龙卷风吗?”其标题暗示,蝴蝶拍打翅膀引起的天气的小变化,可能导致远处恶劣的天气模式。

并不是蝴蝶真的引起了龙卷风,而是它的翅膀拍打意味着会有完全不同的天气模式。挥舞可能会使即将来临的龙卷风偏离轨线,影响德克萨斯。人们永远无法追踪所有的蝴蝶,因此永远无法预测天气。这种效应已被称为“蝴蝶效应”。更为科学的说法是,这个系统显示了“对初始条件敏感的依赖”。系统初始设置的微小变化,会导致结果的重大变化。具有这种特性的系统被称为“混沌”。

罗伦兹是麻省理工学院的教授,专门研究大气层动力学,尤其是地球大气层。他建立了地球大气层动力学的简单模型,归纳出一个简单的数学模型,该模型包含了大气层动力学的某些基础特性。但是,他建立的大气层模型却显示了所谓的混沌行为。与混沌系统相反,也就是对初始条件不那么敏感的系统,被称为稳定系统。下图体现这两种系统之间的差异。图1a)显示了一个稳定的系统,其四个不同的始点彼此靠近,四个终点也彼此靠近。相反,图1b)的混沌系统有四个始点,它们彼此接近,但在不同的地方结束。

1 稳定系统(a)和混沌系统(b

研究人员已经表明,除了天气之外,许多系统也会呈现混沌。例如,

  • 经济学家已经确定价格和股票市场会依赖于小波动。

  • 研究种群动态的生物学家发现,某些物种种群的上升和下降,对微小的影响非常敏感。

  • 流行病学家发现,某些疾病的传播,可能受到诸如感染该疾病的特定个体等小因素的影响。

  • 研究简单流体系统的物理学家已经识别出混沌过程。

    在所有这些不同的系统中,存在不可预测的物理过程。

    如果说,“混沌”系统表明拉普拉斯计算每个系统的未来的梦想已经终结,拉普拉斯的乐观主义毫无价值:宇宙比他想象的要复杂得多;那么,海森堡发现的“测不准原理”把拉普拉斯确定论的前提推翻了:

【测不准原理】

    诺贝尔奖得主沃纳·卡尔·海森堡(Werner Karl Heisenberg1901–1976)在1927年证明了在同时对动量和位置进行测量时,不确定度总是大于等于普朗克常数值。例如,先测量粒子的动量,然后测量粒子的位置得到的答案,将不同于先测量粒子的位置和然后测量动量的答案。这就引出了一个显而易见的问题——你不能够同时回答物体的动量和位置究竟是什么。

    海森堡的测不准原理是量子力学的核心特征之一,与我们日常的经验有很大不同。我们日常看一辆汽车在高速公路上加速行驶,汽车行驶时颜色和速度都很容易确定。一个人可以毫不费力地同时计算出一个人的体重和身高。同样,可以轻松地确定飞行的棒球的确切位置和动量。重点是确定对象的两种不同性质并不困难。这个明显的事实与我们的直觉一致的。但在量子世界中,存在着不能同时确定两个属性的情况。例如,不可能同时知道运动的亚原子粒子的位置和动量。粒子的位置(x)與粒子的動量(p)测量误差大于普朗克常數(h)值(图2)。

2 海森堡的测不准原理

    必须强调,不能同时知道这两个确切值,并非我们现在技术的问题。若是现在技术的问题,随着我们的显微镜和测量仪器的改进,不确定性原理也就不那么麻烦了。这不是技术上的限制,而是我们了解宇宙的能力的固有局限性。

    海森堡的测不准原理是量子力学中的重要原理。量子力学也许是现代物理学中最伟大的发展。除了引力,所有的物理现象都能够用这个理论来描述。从原子相互作用到太阳运转的现象都遵循量子力学定律。量子力学的一些概念是违反直觉的,颠覆你的想法。尽管如此,它们都是真实的。重要的是,要认识到量子力学是我们所知道的最精确的科学。然而,量子力学也告诉我们,在理解我们宇宙的粒子的行为方面,我们有严重的局限性。

    如果对蝴蝶效应和海森堡的不确定性原理感到令人意外,那么,下面介绍的双缝实验和薛定谔的猫,更是令人难以相信。

【双缝实验】

    诺贝尔奖得主、物理学家理查德·菲利普斯·费曼(Richard Phillips Feynman1918–1988)在讨论双缝实验时,曾经用抒情的语气说:“我们选择研究一种现象,这种现象不可能、绝对不可能以任何经典的方式来解释,并且它涉及量子力学的核心。事实上,它只包含奥秘。我们解释不了‘它如何运作’,以揭开神秘的面纱”。双缝实验最早于十九世纪初由托马斯•杨(Thomas Young1773–1829)进行。想象一个有两个狭缝的屏障,如图所示。在图3(a)中,我们关闭了其中一个狭缝,并在障碍物左边上墙壁发光。正如预期的那样,光线将直接从敞开的狭缝通过,光线会穿过狭缝并辐射到右边的墙壁屏幕上,并且远离狭缝地方会变得不那么强烈,如同由图3(a)右边的曲线所示。

3 双缝实验

    如果第二个缝被打开,就会发生一些有趣的事情。光穿过两个狭缝,但不是具有预期的图案,而是存在交替的图案,其中一些区域具有强烈的光,而另一些区域没有光,如图3(b)所示。这种奇怪的光模式的原因是,光的作用就像波,有波峰和波谷。当一个缝隙中的光波的波峰与另一个光波的波峰相交时,它们相加,光就强烈了。相反,当波峰碰到波谷时,波相互抵消,根本就没有光。当发生这种抵消时,我们说光具有“干涉效应”。这类似于在鹅卵石掉落后池塘里的波浪。到现在为止都还不错。

    现在,对于这个实验的令人惊奇的方面,可能是所有科学中最令人兴奋的结果。物理学家们通过一次只释放一个光原子来完成这个实验。一个光原子被称为光子,物理学家已经变得足够熟练,能够一次通过狭缝发射一个光子。释放的光子通过屏障狭缝,击中右边的墙壁,并产生一点光。他们可以进行数百万次的实验,并看到光子在右边墙壁的图案。值得注意的是,仍然存在干涉图案。也就是说,许多单个光子将降落在高强度区域,很少将降落在低强度区域,并且没有光子将降落在存在完全干扰的地方。这怎么可能呢?当我们有很多光子时,我们可以说光子像池塘中的波一样相互干涉。但是当每个光子一次释放一个光子时,单个光子会干涉什么来产生这种模式?答案是单光子干涉自身:单个光子不只是通过上部或下部一个狭缝,相反,光子同时通过两个狭缝,它干涉自己。

    一个物体如何同时穿过两个狭缝?这是量子力学的主要谜团。通常,物体有一个位置,也就是物体被发现的单一位置。但是在这里,可以在一个以上的位置找到对象。一次出现在一个以上位置的现象称为“叠加”现象。

研究人员并没有完全一致地认为为什么我们看不到事物的叠加。所有已知的是,当我们检查量子实验的结果,或者当系统被测量时,我们就不再看到叠加。我们说系统从多个位置叠加到一个特定位置。测量问题问为什么会发生这种坍塌,是量子力学哲学的主要讨论点之一。

    人们可能会轻视这些问题。这些量子事物究竟与“真实”世界有什么关系?你从来没有见过一个亚原子粒子在一个位置,更不用说叠加了。亚原子世界中叠加的想法如何影响更大的世界?量子理论的创始人之一欧文•薛定谔描述了一个有趣的思想实验。

【薛定谔的猫】

    诺贝尔奖得主、奥地利理论物理学家欧文·薛定谔(Erwin Schrödinger1887–1961)对量子论做出巨大贡献,1926年他提出的薛定谔方程(即波函数的微分方程),描述了微观粒子的状态随时间变化的规律,是量子力学的基本方程。同年,诺贝尔奖得主、德国犹太裔理论物理学马克斯·玻恩(Max Born18821970)提出概率幅的概念,认为波函数表示粒子处于某个特定位置的可能性。玻恩文章发表后的十年,量子态的概率叠加概念已经广为传播。薛定谔感到十分委屈,认为自己的方程被人误解,他提出一种被后人称为“薛定谔的猫”的荒诞的试验,进行嘲讽。但是,在几十年来,他认为的荒诞的试验已经广泛被用于解释量子概率和量子态叠加的概念。

    想象一个密封盒子里放着一块放射性物质。这种材料是服从量子力学定律的,是“随时衰变”和“不随时衰变”的叠加。放置一个盖革计数器,用放射性物质检测盒子里的衰变。将盖革计数器连接到一个锤子上,当盖革计数器发出嘟嘟声时,它会打破一小瓶有毒气体,如图4所示。现在把一只活猫放进盒子里,然后关上盒子。

4薛定谔猫

    与所有量子力学过程一样,我们不能确定放射性物质是否会真正衰变。因此,没有确定盖革计数器是否会发出哔哔声的方法。如果放射性物质衰变,盖革计数器就会发出哔哔声,毒药就会被释放,猫就会死亡。另一方面,如果放射性物质不衰变,那么猫就会活着。由于在给定的时间内发生衰变的几率是50-50%,所以猫死的几率是50-50%。也就是说,在我们打开盒子之前,猫将处于既活又死的叠加状态。实验将亚原子世界的怪诞转化为猫和人类的日常世界。

【维格纳的朋友】

    诺贝尔奖得主、匈牙利出生的物理学家耶诺·帕尔·维格纳(Eugene Paul Wigner1902–1995)把“薛定谔的猫”实验推进一步。该实验以“维格纳的朋友”闻名。维格纳设置实验是把活猫放在盒子,然后关闭盒子,嘿,走出房间。并非他自己打开盒子,维格纳的一个朋友打开维格纳的盒子。打开它之前,我们认为放射性物质处于叠加状态,毒物处于叠加状态,而猫处于叠加状态。问题:当打开盒子时,他的朋友是否也处于叠加态,既看到猫活,又看到猫死?显而易见的答案是他的朋友不处于叠加态中。从来没有人报告过他处于叠加状态。只当维格纳得知结果时,或者更早些当他的朋友得知结果时,叠加状态才会坍塌吗?朋友没有其它有意识的东西。显然,当他的朋友看着它时,整个系统坍塌。维格纳用这个来表示叠加态,在任何有意识的观察者观察它时坍塌。维格纳称,当我们觉察到某东西时,就会使得波函数决定性的坍塌,猫活和猫死的混合状态消失了。维格纳以此证明世界上唯一能将叠加物坍塌为状态的东西就是人类意识。人类只观察状态,所以,是什么导致了从叠加态的坍塌?一定是有关意识的东西。

    如果认为人类意识具有特殊地位,人类意识决定波函数坍缩,那么,按照“薛定谔的猫”或“维格纳的朋友”实验操作,就会制造一只“既死又活”的猫,而显然,“既死又活”的猫是荒谬的。

    这种意识的作用当然只是一家之言,并且显然违背唯物主义的哲学。唯物主义者基本上认为这个世界是包含物理对象和物理对象之间的空间。物理学的大多数定律都可以从这个角度来看待。一个唯物主义者相信,即使是人类也是由原子和分子组成的生物,它们只是遵循物理定律。“维格纳的朋友”强调一个叫做意识的宇宙中的新实体,这个意识不是由物理物体构成的,但它影响宇宙如何运作。

    这太疯狂了!爱因斯坦也曾经抱怨道,月亮只有在我们看它的时候才存在!(对于玻尔的观点,即“物体在被测量之前没有属性”,爱因斯坦曾经嘲讽问道,是否真的相信“月亮只存在于我看它的时候”?)但是,亚诺夫斯基的书中说,大多数当代物理学家都会告诉爱因斯坦,尽管听起来很疯狂,但月球只有在被观察时才存在。海森堡写道:“一个客观现实世界的概念,其最小的部分客观的存在,与石头或树木的存在同样意义,…不可能独立于我们是否观察它们。”在亚诺夫斯基的书中,还将“薛定谔的猫”看成“微观宏观区别的终结”。

    暂且不论意识是不是会影响宇宙如何运作,也有一些物理学家推测,意识可能正是源自量子过程,可能需要借助量子理论才能完全理解大脑运作的机制。亚诺夫斯基认为,科学家和唯物主义者必须考虑把意识融入他们的世界观。

量子力学与相对论的矛盾

    在20世纪诞生了理解宇宙的两大革命性理论:量子力学和相对论。

    阿尔伯特•爱因斯坦(Albert.Einstein18791955)的相对论是所有科学中最美丽的思想。大多数的想法可以用简单易懂的思想实验来描述。尽管它们很容易,但却彻底改变了我们对周围世界的理解。相对论告诉我们关于空间、时间和因果关系如何改变我们对宇宙的看法的方式。

    例如,按照广义相对论,时间在世界各处以不同方式流逝,在有些地方流逝得更快些,有的地方慢些。离地表越近,引力势越大,时间流逝越慢。如果取两块钟表,确保记录的时间相同,一个放在楼下,一个放在楼上,过一些时间,把它们放在一起,它们仍然显示相同的时间吗?答案是否定的。按照广义相对论:楼下的钟表因为更接近地面、受到更强的引力势的作用,所以要比楼上的钟表走的慢。当然,通常的钟表的精度不足以检验这个事实,但现代物理实验室的精密计时器可以显示这样的差异。

    量子力学和相对论这两个理论都是非常成功的,但它们在一些方面相互矛盾:

  •  在大多数情况下,这两个理论处理不同领域的问题。量子力学处理非常小的物体,而相对论处理非常大的物体。然而,它们也有重叠的区域:称为奇点或黑洞的地方。在这些重叠的领域,这两理论给出了相互矛盾的预测。

  • 这两理论反映的空间和时间的基本性质有不同概念。例如,广义相对论使用空间是连续的,而量子理论则认为空间和时间是离散的。

  • 经典物理学和广义相对论的定律是确定性的,而量子力学定律是不确定性的。

简而言之,量子力学与相对论à矛盾。和许多悖论一样,这种矛盾表明我们需要一种新的范式,需要一种新的理论。这一新理论应该把量子力学和相对论统一起来。它应该与它所取代的两种理论中的每一种做相同的预测。此外,在它们重叠的领域中,这个理论应该做一个符合观察的单一预测。这一理论将为空间、时间、物质和因果关系提供新的概念。虽然目前还没有这样的理论被大家所认同,但它已经有了一个名字:量子引力。

由于这个理论将描述引力和量子力学力,它将是一个大统一理论。许多不同的理论正在争夺这个崇高的地位。这些理论具有深奥的名称,如弦理论(string theory、圈量子引力(loop quantum gravity和非交换几何(noncommutative geometry。每一种不同的理论都有其反直觉的特性。目前,弦理论似乎是最主要的竞争者。然而,现在还为时过早。其中任何一个都可能是一切的真实理论。或者说,真正的理论可能还没有被开发出来。

亚诺夫斯基认为,也许永远都不会有万物理论。关于量子引力,有一点似乎是肯定的:它将告诉我们,我们幼稚的宇宙观是错误的,宇宙是一个比我们所以为的更有趣的地方。

(二)不可判定的问题

为什么数学对于理解物理世界如此重要?物理世界为什么遵从数学?这些简单的问题是每一代最伟大的科学家和思想家都思考过的。诺贝尔奖得主、英国理论物理学家保罗·狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac,1902-1984)写道:

用数学理论描述基本物理定律似乎是自然的基本特征之一,需要相当高的数学水平才能理解它。你可能会想:为什么大自然以这样方法建造?一种回答是我们现在的知识似乎表明它是如此构造的。我们必须接受它。人们可能会说,上帝是一位非常高级的数学家,他用非常先进的数学来构建宇宙。我们在数学上的微弱尝试,使我们能够理解一点宇宙,并且随着我们开发越来越高级的数学,我们可以希望更好地理解宇宙。

亚诺夫斯基在他的《理性的外部限制》一书中,强调理性有多种形式。粗略地说,科学是我们用来描述和预测物理的和可测量的宇宙的语言。更抽象的数学可以分为两个领域:应用数学是科学的语言,而纯数学是理性的语言。逻辑也是理性的语言。他在书中还介绍了20世纪数学家、逻辑学家和计算机科学家的发现,例如,著名的悖论——罗素的理发师悖论,著名的不可判定问题——图灵的停机问题,以及20世纪数学中最著名的定理之一——哥德尔不完备性定理。

【理发师悖论】

人们早已经知道,存在我们无法判定的问题。公元前600年,生活在克里特岛的哲学家和诗人埃庇米尼得斯在一首名为《克里蒂卡》的诗中写道:“克雷特斯人,都是说谎者!”那么,“克雷特斯人,都是说谎者”这个说法是真的吗?如果是真的,那么,既然埃庇米尼得斯是克里特人,他自己是一个说谎者,则这个说法是假的;相反,如果这句话是假的,那么,埃庇米尼得斯不是说谎者,这个说法是真的。

有许多类似于厄庇门德斯的语言悖论。说谎者悖论是一个简单的句子:

我在撒谎

这个句子是假的

如果这些句子是真的,那么它们是假的;而如果它们是假的,那么它们是真的。

英国数学家、哲学家伯兰特·罗素(Bertrand Arthur William Russell1872 -1970)描述了一个悖论,它被称为“理发师悖论”。想象一下奥地利阿尔卑斯山的一个小村庄,只有一个理发师。村里的人都遵守以下规则:“不给自己剃须的人”都必须去村庄理发店,由唯一的理发师剃须;而理发师不能给“给自己剃须的人”剃须。这似乎是一个非常无害的规则。毕竟,如果他们可以自己剃须来节省一些钱,为什么去理发店呢?如果他们去了理发店,为什么要自己剃须?

现在,问题是:谁给理发师剃须?如果他不给自己剃须,他是个村民,属于“不给自己剃须”的人,必须去理发店,但他自己是理发师,所以这是“给自己剃须”,而理发师不能给“给自己剃须的人”剃须;如果他给自己剃须,那么,由于他是理发师,不能给“给自己剃须的人”剃须。(图5参照参考资料[3])。

5谁给理发师剃须?

【自我指称悖论】

自我指称是一个句子指称自己因而产生悖论的现象,如前面提到的“我在撒谎”说谎者悖论。自我指称悖论(Self-Referential Paradoxes)是源于其系统的对象可以涉及/处理/操纵自己情况。参考书是一本列出不同类别书籍的书。有一些参考书,列出古籍书籍、人类学书籍、挪威动物志的书籍等等。某些参考书列了自己。例如,如果一个人出版了所有出版的图书的参考书,那本参考书就会包含它自己。也有一些参考书不会列它们自己。例如,一本挪威动物志的参考书不会列自己。考虑一本参考书,列出所有“没有列自己”的参考书,而不能列不是“没有列自己”的参考书。现在问你自己以下问题:这本书是否列自己?很容易看出,当且仅当它没有列自己的时候,这本书列自己。不可能有具备这样的规则和内容的参考书。因为,如果这本书没有列自己,它自己就是“没有列自己”的参考书,则它没有列出所有“没有列自己”的参考书;而如果这本书列了自己,它自己就不是“没有列自己”的参考书,则它列了不是“没有列自己”的参考书。

停机问题

现在讨论“停机问题”——判断任意一个程序是否会在有限的时间之内结束运行(停机)。让我们构想停机的问题:给定任何程序和它的输入,确定带有该输入的程序将可结束运行(停机)或进入无限死循环。其答案是肯定的(停机)或否定的(死循环)。计算机能解决停机问题吗?是否存在这样一个程序(算法),它能够计算任何程序(算法)在给定输入上是否会结束(停机)?

艾伦·M·图灵(Alan M.Turing1912-1954)最早描述了这个问题,并在1936年给出了一个否定的答案:不存在可以解决停机问题的程序。计算机无法对任何给定的程序和任何给定输入,确定该程序是否将停机或进入死循环。我们将计算机能够解的决策问题,称为是可判定的,计算机不能解的问题是不可判定的。停机问题是不可判定的。停机问题在任何时候都无法解决,它是一个不可能的问题。

最令人惊奇的是它在1936之前就被图灵证明了,早于任何计算机出现之前,多年后实践工程师们才想出如何创造一台计算机。图灵是一位杰出的理论数学家,他证明了计算机的能力是有限的。伟大的理论家!

现在已经有多种方法证明不存在可以解决停机问题的程序。利用反证法,我们假设存在一个程序Halt(prog,input),可以判定任何程序Prog在任何输入Input的情况下是否可停机。如果它判定prog在输入input时可停机,Halt输出返回1;如果它判定Prog在输入Input时死循环,Halt输出返回0,见图6(a)

6 (a)Halt函数有两种返回值,(b)U的伪码

由于程序prog本身也是一种数据,因此它可以作为输入input,故Halt也应该可以判定当将prog作为prog的输入时,prog是否会停机。

我们再定义一个过程U(P) ,见图6(b),其流程如下:

  • 调用Halt (P, P)

  • 如果Halt (P, P)返回0(判定P死循环),则U(P)停机,返回1

  • 如果Halt (P, P)返回1(判定P停机),则U(P)死循环。

也就是说,U(P) 的行为与hast (P, P)的输出相反,其伪代码及其注释表示如下图6b.

由于Halt可判定所有程序,那么它也可判定U如果把U作为U的输入,从前面定义的U的流程,可以知道,Halt (U, U)返回的结果,与U(U)的行为相反:

1Halt (U, U)返回1(判定程序U在输入为U时可以停机),但此时程序U并没有停止,会进入”while(1);”死循环。

2Halt (U, U)返回0(判定程序U在输入为U时死循环),但此时程序U可停机。

结论:Halt不能正确判定U是否会停机因此不存在这样的一个过程能判定任何程序在任何输入的情况下是否可停机。与我指称悖论、理发师悖论类似,在停机问题中也存在自我引用或自我参照(self-reference)。语言、思维、逻辑、数学和计算机都是具有处理自身能力的系统。在每一个领域中,自我参照的潜力可能导致悖论或某种类型的局限性。

【哥德尔不完备性定理】

数学是纯粹理性的典型。许多科学都是建立在数学和逻辑的基础上。从某种意义上说,数学是理性的语言。它是人类所有发明中最成功的。然而,它也有它的局限性。

现在我们来谈谈二十世纪数学中最著名的定理之一。它表达了一个令人震惊的数学和逻辑的局限性。库尔特·哥德尔(Kurt Gödel1906–1978)是位数学家、逻辑学家和哲学家。他在1931年提出的“不完备性定理”,被视为数学基础研究的划时代的事件和现代逻辑史上一座里程碑。不完备性定理的主要结论是,所有逻辑体系都存在有不能被证明或否定的命题。因此,所有逻辑体系都“不完备”。

哥德尔定理其实是两个定理,其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的,在网络上可以看到这一定理的众多版本,如:

  • “如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾,则T必定是不完备的。”

  • “任何一个相容的数学形式化理论中,只要它强到足以在其中定义自然数的概念,就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。”

  • “任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”

    第二不完备性定理是第一定理的一个推论:“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”

    亚诺夫斯基的书用很长的篇幅讨论哥德尔定理涉及的逻辑概念,在这篇博文中就不详细介绍了。哥德尔的不完备性定理的数学上精确的陈述也很难以理解。因此,下面仿照梅尔文•亨利克森在《科学美国人》上的科普文章(参考资料[3]),用计算机的语言来重新表述和简化介绍。

    设想我们有一个非常强大的计算机,称为Oracle。就像我们熟悉的计算机一样,Oracle要求用户遵循精确规则的指令“输入”,并遵循一些规则的方式提供“输出”或答案。相同的输入总是产生相同的输出。输入和输出均为整数,Oracle只执行加法、减法、乘法和除法等的常规操作。与普通计算机不同,不考虑效率和时间。Oracle将正确地执行给定的指令,无论它需要多长时间,并且只有在执行指令时才会停止——即使它需要超过一百万年的时间。

让我们考虑一个简单的例子。大家知道,大于1的正整数(我们称之为n)不能被除了1和此整数自身外的其他自然数整除的数称为素数。换句话说,素数只有两个正因数(1和自己)。现在你要求Oracle确定n是否为素数?告诉它把n除以1n-1之间的每一个整数,当得到整除结果,即不是素数,打印“false”,停止;如果达到n-1时(实际上,如果它达到n的平方根),还都没有被整除的,那么n是素数,打印“true”,停止。图7是判断一个数是否素数简单程序代码例子。在这个例子中,对于正确的输入,都给出了回答。

7判断一个数是否素数简单Python代码例子

    但是,哥德尔的定理告诉我们,存在Oracle无法回答的只涉及整数运算的正确问题。换句话说,有些语句——虽然输入正确——Oracle不能进行评估,以判断它们是否正确。这样的断言被称为不可判定的。哥德尔博士证明了这样的断言总是存在的。

    即使您得到了Oracle的“改进”型号,将其称为OracleT,其中特定的不可判定语句UD被判为true,也会生成另一个不可判定语句来代替它。更令人费解的是,您可能还获得了Oracle的另一个“改进”型号,称为OracleF,其中UD将被判为false。无论如何,这个型号也会生成其他不可判定的语句,并且可能产生与OracleT不同的结果,但是同样有效。

1931年,当哥德尔提出他的不完全性定理时,令数学界震惊。哥德尔并没有用计算机的语言来表达他的结果。他的工作使用逻辑系统,数学家希望他的结果依赖于该系统的特殊性。但在接下来的十年左右,包括史蒂芬•C•克莱恩、埃米尔•波斯特、JB•罗瑟和阿兰•图灵在内的许多数学家都表明事实并非如此。也就是说,在这个世界上有一些任务是根本无法完成的。电脑可以做很多奇妙的事情。然而,有的任务也无法执行。

小结

    科学是以推理来理解我们所居住的物质世界。我们用科学来描述、理解和预测物理现象。一个月前,我在《科学网》发的博文《20世纪物理学革命——引人入胜、发人深思》中曾经强调:20世纪物理学革命是人类思想发展史上光辉的一页,这场革命诞生了现代物理学。本篇博文的重点是,20世纪的科学成就也体现在揭示了物理学、逻辑学、计算机和我们的思维过程的局限性,存在科学、数学和理性无法判定的问题。

    这篇博文是我在读亚诺夫斯基的《理性的外部限制》一书的笔记的基础上撰写的。亚诺夫斯基在这本书的最后,将理性的局限性分成四种类型:(1)物理限制——存在不允许某一物理对象或物理过程存在的原因。(2)心理结构限制——某种思想或心理结构不可能存在。(3)实践的限制——表明东西的存在是极其不切实际。(4)直觉的局限性——我们的直觉天然有点缺陷,我们对周围宇宙的基本直觉被多次挑战,而通常的观点被证明是错误的。

参考资料:

[1] Noson S. Yanofsky.The Outer Limits of Reason.What Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us.The MIT Press.2013

[2] Apostolos Doxiadis/ Christos H. Papadimitriou/ Alecos Papadatos/ Annie di Donna .Logicomix .Bloomsbury USA.2009

[3] Melvin Henriksen.What is Godel's Theorem? 见:https://www.scientificamerican.com/article/what-is-godels-theorem/

 



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