去年（几天前）提到大家不太接受曼德博“步规长趋于无穷小，测量长度则趋于无穷大”的幂律，有些困惑。反而是周玮接受得比较快。是不是我们欧几里得几何在脑海里太根深蒂固，反而不利于接受新的概念呢？好像也不能这么说。比如说吧，XY平面上有一对点，坐标给定，就是用一根线段连接这两点的直线段的长度，那么用步数表示的两点间距离很容易就可以算出。不论你测量用的什么步长的步规，M＝（步数）N乘以r（步长）……(1)

这是欧氏几何的规定，也是大家在实践中普遍接受的。曼德博提出，自然界中的线性地物，如海岸线等等，往往不满足欧几里德关于直线的抽象，而是处处存在微结构。（步数）N本身就是(步长)r的函数，满足幂律：N(r)=M*(1/r)**D……(2)

这里D是自然线段的分维数。注意曼德博没有指明这里M的几何意义，只强调了M是一个常数。这实际上埋下了后来所谓“分形几何是对欧氏几何的一场革命”这种误会的种子。

应该说，公式（2）在解释不同步长测得的海岸线长度差异，及用不同分维数描述不同海岸线的特征，等等方面，取得了巨大的成功。上述公式2所反映的幂律，大家也广泛认可。虽然式（2）也有当r趋于无穷小，测量步数则趋于无穷大的问题，但是因为这个问题在欧氏几何中同样存在，大家也比较习惯。但是，当(2)等式两边同乘以r的时候，变成：

L(r)=M*r*(1/r)**D=M*r**(1-D)……(3)式的时候，反弹就比较强烈了，因为（3）式明确表示，不单是步数，而且测得的总长度趋于无穷大。隐含意思是两点间自然线段根本没有所谓的真实长度。这两点是曼德博极端粉丝最欣赏，但也是最违背人们的直觉与常识的。

这个问题其实不是曼德博本人的问题。他讲得很清楚，所谓分维数保持不变，只是在一定步长取值范围之内。如果把海岸线测量的步长取到原子尺度，那离现实 比欧几里德的抽象 更远，只能用来吵架，很难用来讲理。

在博文 独孤求败…. 中，曾提到，“如果令r＝1，L(1)=M,是否就是“真实”长度？”显然不是，因为连r究竟是多大都还没有提到呢。如前所述，r是步长，用一个有理数乘以单位长度来表示，如25哩、50哩、…（曼德博）；10km、20km、等等（朱晓华）。为了简化问题，我们假定“单位长度”为实际所用的最小步规的步长。

为了说明分形几何并与欧氏几何之间的关系，我们假定用步规来测量一个半径R的（欧氏）园的周长。我们先选择步规的长度r=R，这样测得的圆周，即达“径一周三”的水平，误差约低估0.1416/3.1416。这个误差，显然是由于用折线代替弧线造成的。我们继续减小r，比如说，到一个小角2a 对应的弦长2R sin(a)。此时真实的弧线长为2R a。这时的系统低估为sin(a)/a。此时若逐步加大单位步长，则相对误差也随着增大，直到步长为R。这完全可以从欧氏几何得到精确的解释，也为大家所熟知。所以，虽然分形几何也能解释这种现象，但除非是春节假期实在找不到事干，才会去找那麻烦，去回归求出园弧的分维数。

分形几何出现的理由，是自然界很少有上述那中理想的园形边界：或者不那么园，或者圆周不那么光滑，有凹凸等微结构。所以分形几何是理想化的欧氏几何的补充，而不是要取代欧氏几何。