1、复函数导数

    复函数导数与实数函数的求导法则基本相同

例1、 已知复变函数f(z)=\frac{z^2+3z+4}{(z-1)^5}, 求 f^{(3)}(-i\sqrt{5}).

>> f=(z^2+3*z+4)/(z-1)^5;f3 =diff(f,z,3);d3 = subs(f3,z,-sqrt(-5))

 d3 = 

- 30/(1 + 5^(1/2)*1i)^6 + (90*(- 3 + 5^(1/2)*2i))/(1 + 5^(1/2)*1i)^7 + (210*(1 + 5^(1/2)*3i))/(1 + 5^(1/2)*1i)^8

>> simplify(d3)

ans =

3565/4374 - (5^(1/2)*650i)/2187

2、留数的计算

法则I：a为f(z)的一阶极点， Res[f(z),a]=lim_{z\rightarrow a}(z-a)f(z)

法则II：a为P(z)/Q(z)的一阶极点， Res[P(z)/Q(z),a]=P(a)/Q'(a)

法则III：a为f(z)的m阶极点，Res[f(z),a]=1/(m-1)!lim_{z\rightarrow a}d^{m-1}/dz^{m-1} [(z-a)^m f(z)]

例2 求复变函数 f(z)=\frac{1}{z^3(z-1)}sin z exp(-2z) 的留数

解：0为三阶极点，1为简单极点，分别用法则III和法则I可得

>> syms z; f = sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z^3*(z-1));r1 = limit(diff(z^3*f,z,2)/prod(1:2),z,0)

 r1 =

 1/2 - 3^(1/2)/4

 >> r1 = limit((z-1)*f,z,1)

 r1 =

 exp(-2)*sin(pi/3 + 1)