有一初一学生问了一道数学应用题：

某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理设备，有A和B两种型号可选：A型设备每月可处理污水240吨，B设备每月可处理污水180吨。

已知商家售出的2台A型，3台B型污水处理设备总价为44万元，售出的1台A型，4台B型污水处理设备总价为42万元。

求：（1）A型和B型污水处理设备的单价各为多少钱？

   （2）为保证每月生产的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要花多少钱？

设：（1）设A型和B型污水处理设备价格分别x和y，则由题设 2x+3y = 44, x+4y = 42, 解得 x = 10, y = 8.

（2） 分析：由于每万元处理的污水吨数为

      A型污水处理设备： 240/10=24

      B型污水处理设备： 180/8 = 22.5

      所以，尽可能选A型污水处理设备, 又1960/240>8.1,应选9台A型污水处理设备，0台B型污水处理设备，这时需要花费9*10=90万元。但由于9台A型污水处理设备能力过剩240*9-1960=2160-1960=200，猜想这种方案未必最优，再尝试用更加便宜的B型污水处理设备代替A型污水处理设备的方案.每台A型污水处理设备比B型污水处理设备污水处理能力多240-180=60,比较过剩的处理能力200>60*3，可以用3台B型污水处理设备代替A型，从而可知买6台A型+3台B型污水处理设备的污水能力为240*6+180*3=1980>1960满足要求，这时的花费为10*6+8*3=84万元。

从更高的角度看，该问题实际上是个线性整数规划问题

min c = 10*x+8*y

s.t. 240*x+180*y>=1960, x>=0,y>=0,

若按线性规划求解

f = [10;8]; A = -[240,180]; b = -1960;

Aeq = [ ]; beq = [ ]; lb = zeros(2,1); ub = [10;10];%[Inf;Inf];

options = optimoptions('intlinprog','Display','off');

[X,fval] = linprog(f,A,b,[],[],[0;0],[Inf;Inf],options)

结果为

X =

   8.1667

   0.0000

fval =

  81.6667

结果显示，用8.1667个A型，0个B型，费用最低为81.6667万元，但这不符实际。因为很难买0.1667台A型污水处理设备，故线性规划结果不合理，于是限定变量为整数。

% 按线性整数规划处理

intcon = 1:2; %限制1-2个变量为整数

[X,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)%整数线性规划

而限制变量为整数后，符合实际.

X =

   6.0000

   3.0000

fval =

   84

可以绘图得到解释

MATLAB代码：

close all

x = 0:9; y = (1960-240*x)/180;

plot(x,y,'b')

hold on

for x = 0:9

   for y = 0:11

       c = 240*x+180*y;

       if c>1960

           plot(x,y,'r.');text(x,y,num2str(10*x+8*y))

       else

           plot(x,y,'g.');

       end

   end

end

grid on

axis([0,10,0,11])%;axis equal

f = [10;8]; A = -[240,180]; b = -1960;

Aeq = [ ]; beq = [ ]; lb = zeros(2,1); ub = [10;10];%[Inf;Inf];

options = optimoptions('intlinprog','Display','off');

[X,fval] = linprog(f,A,b,[],[],[0;0],[Inf;Inf],options)

intcon = 1:2; %1-2个变量为整数

[X,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

% f = [-3;-2;-1];

% intcon = 3;

% A = [1,1,1];

% b = 7;

% Aeq = [4,2,1];

% beq = 12;

% lb = zeros(3,1);

% ub = [Inf;Inf;1]; % enforces x(3) is binary

% options = optimoptions('intlinprog','Display','off');

% [X,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)