神奇的π（130722）   ​

闵应骅

   有一首很好听的歌，叫“神奇的九寨”，我借用这个题目写一写“神奇的π”。上一篇博文“是先有结论，还是先有数据？（130715）”中，我谈到了理论要从实践中来。一般来说是这样，但不都是。本文想说：π就不是从实践中来的。

   大家知道，圆周率是指圆周长与直径之比。公元前20世纪，巴比伦人就发现圆周长是直径的3.125倍。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载。汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于5/8（约为3.162）。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他得出3.141024的圆周率近似值。他继续割圆到1536边形，求出令自己满意的圆周率3927/1250=3.1416。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位，即不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。1706年英国数学家威廉·琼斯（WilliamJones ，1675－1749）最先使用“π”来表示圆周率， 1737年，瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。我当过数学教员，记得在苏联中学教科书上有π=3.1415926535897932384626433，那是25位，现在还记得。其实，这些都是近似值。微积分发展起来以后才知道：π是一个无穷级数之和，或者说一个极限。可以证明它不是一个有理数，而是一个无理数，一个无限不循环小数。奇怪的是：不管大圆、小圆；欧洲的圆、亚洲的圆，其周长都是直径的π倍。不过，不管你怎么试，用多么精确的仪器，都得不出π来。只有经过理论的推理，才能推出这个无限不循环小数。当然，计算它的近似值到几千位、几万位，那是计算机的事，计算π还被用来测试系统稳定性和测试CPU计算完特定位数圆周率所需的时间。都无非是劳务而已。

其所以说π神奇，是因为它无限不循环，可以任意想象。美国有一个教授，叫卡尔·萨根(CarlSagan，1934-1996)，是位太空科学家，曾经因为报导太空文学而得普立兹奖。美国科学基金会颁发了一项最高荣誉给他，并称赞：“他的研究工作改变了星际科学……，他给人类的礼物是丰盛无比的。”他的科幻小说《接触》，还改编成电影。里面说，一个地球上的科学家访问一个遥远的行星，发现外星人计算π的位数长得多，而且转换为各种进制，譬如二进制、3进制、11进制等等，很长很长。这个无限长的序列里包含了多少信息？有人说它包含了所有人的姓名、身份证号码及其他所有信息，不过不知道是在哪一段。有人说它包含了所有素数。也可以说它包含了所有可能的数字组合。这个结论既不能证明它对，也不能证明它错，因为它无限不循环。只有人们定义的正规数，可以包含所有可能的数字组合。正规数（Normal Number）是一个任何数字都显示均匀随机分布的数字序列，即每个数字出现机会均等的实数。以10为低，任意数字组合的出现都是等可能的。譬如掷铜板出现的正反面是以2位为底的无穷序列；掷骰子出现以6为底的无穷序列。这些都是正规数。那么，它到底包含了多少信息？可申农说随机数不包含任何信息。已经证明：几乎所有实数都是正规的，除开一个勒贝格测度为0的集合之外。别以为这个勒贝格测度为0的集合很小，所有有理数都包含在内。人们构造了许多正规数，而且可以相信，但无人证明在任何进制下π是一个正规数。

科幻小说离开形式逻辑，凭着钻空子的想象，可以发现许多知识，但必定是没有结局的。所以必须要利用科幻的外表，发掘人性的本质。科幻小说和电影在我国好像不太时兴。我们不太提倡科学幻想，大胆地自由思考。我们只知道重拍四大名著，重拍N次。但人家卡尔·萨根，凭着科学幻想，可以成为大科学家。