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小波的尺度伸缩,男女声合唱与数学显微镜--教学难点讨论之三 精选

已有 16440 次阅读 2011-3-30 11:38 |个人分类:教学科研|系统分类:教学心得| 尺度, 显微镜, 小波, 直观解释, 伸缩

    上文《比喻实例讲哲理,引玉之砖释小波》 展示了利用一组有内涵的对象作为坐标基底,从而表达更复杂对象的思路。本文拟通俗解释小波的尺度伸缩和数学显微机制。
 
  
1 常说尺度,而少说频率 小波就优秀跳水运动员激起的水面昙花,涌现第一波,就很快消散了,衡量跳水运动的压水花的水平,用尺度显然比频率合适。(这里说像”,而非“是”,请参见上文中在珍珠入水那一段的补充解释,也谢谢评论14的建议)。
  

   设墨西哥草帽小波的函数为y=f(t/a),
   则 a=1/4时 , y=f(4t),绰号瘦草帽;    a=1/2 时,y=f(2t),绰号中草帽;  
   a=1时,    y=f(t),   绰号胖草帽,  a= 2 时   ,y=f(t/2),是超胖草帽…
   这里的a 称为尺度(scale),尺度越大体型越胖,符合直观。

     幽默是机智、知识和心态的综合,学过小波的的同学开起玩笑也玩新概念,看见胖子来了,说:“Wow! How big Scale”(好大的尺度),而不说“好低的频率”。
   直观地,小波中至少有一次“一正一负”的波动,尺度越小,波动的频率越高,尺度与频率是有关的。暂时保留这个美好的悬念,留到第3小节解释。
  
 
2 小波和2k倍尺度小波正交  仅以K=1来说明思想。下图中,有两个Harr小波, f(t)的尺度是g(t)的尺度的两倍.
 

 考察f(t)和g(t)的约会,相约在老地方--内积平台。
 f(t)在[0.2b]上心态平和,始终取+1,在t>4b时,f(t)=0。
 g(t)的情绪不稳定,在[0, b]上阳光灿烂(+1),在[b,2b]突然由晴转阴,取值(-1),t>2b时沉默不语,g(x)=0,
 f(t)g(t)在[0.b]上为正,在[b,2b]上为负, 正负相抵,这样的约会当然没有结果; 于是,

     内积∫f(x)g(x)dt=0,它们有缘无分。
 其他形状的小波复杂一些,需用严格的数学推导,但哲理相同。
  
 
3 尺度怎样联系频率 把Harr 波的波形拓扑地变成正弦波。得到如下的分段定义函数
     F(t)=sin(ωt)   当ωt 在[0,2π]中
     F(t)=0        其他情形
1/ω是上述分段函数的尺度,而ω是正宗sin(ωt)在无限区间上的频率,这大致说明了尺度越小,对应于频率越高。
  奇怪的是,在小波列表中没有这个函数,这里仅仅借用它在直观上说明尺度和频率的联系。不妨把它称为伪小波。之所以说“伪”,是因为按正宗做法,从母函数克隆出正交基时,需要要用平移、伸缩和加减法运算。虽然这个伪小波在适当的平移或倍频变换下,也可以造出正交波;但作加减法时候,要用到三角函数的和差化积,或积化和差,这里就出问题了;做一点改造,把sin(ωt)换成sin(πt)/πt,就构成了Shannon小波的父小波,深刻的道理请数学专家来解释。
 
  既然尺度联系上了频率和正交,下面暂时偏离小波片刻,说说与频率正交相关的趣事。
 
4 男女声合唱与声波的正交。下面是C调的音阶 1,2,3,4,5,6,7与频率表:(Hz)

      ================================================================================
      唱名         dou      ruai     mi        fa        sou       la      xi     dou(高)
      计算数值    261.63  293.66    329.61    349.23    391.80   439.77   493.6    523.26     

     ==================================================================================

   注意,  2*261.63= 523.26; 即,C调的高音dou之频率 是(标准)dou之频率的2倍。
  事实上,2的12次方根 d=1.0594630,以d为公比,做一个等比级数 ,a
1, a2,…, a12
  首项 是C调的 dou为a
1=261.63, 而a12=523.26 是高音Dou的频率,这就是十二平均音阶,是中国明代音乐理论家兼数学家朱载堉(公元1536-1610年)发明(发现?)的。

   上述等比级数中,  ai+1比ai高半个音,音乐中加进适当的半音,常使旋律优美欢快。曾经听到过一首歌《新疆故事》,居然在sou上也升半个音,比较少见,挺好听。  
  
4.1 一条坏消息 考虑两个单位向量波 u(t), v(t)。 u在v上的投影分量为 (u.v)v, 这就是u对v的干扰。设u,v两人一起唱歌,如果u唱跑了调,声音又大 (歌厅中常见的一道风景线),而v的定力不够强,或者是跟着跑调,或者就停唱了。
  当然,这种干扰也不是全是坏处,从17世纪起,人们就发现音频之间适当的互相干预可能产生好听的和声(包括和弦与和声进行),作为菜鸟,只觉得唱和声的歌手特别不容易,需要定力特别强,这一主题要请声学专家或音乐家来做科普了。
  
4.2 一条好消息  设男女声合唱时,旋律一样,但女声高8度,则女声频率刚好是男声频率的2倍。 上面的分析表明,两者互相正交,所以只要都唱对了旋律,就不会互相干扰;还有一种解释,如果作谐波分析,女声的谐波刚好是男声的偶次谐波,
女声加强了男声中本来就有、但幅度较小的偶次谐波成分,所以不会互相干扰,听起来很和谐,请这方面的专家来指正和解释。
  
4.3 朱载堉如何发明十二平均音阶  明代的朱载堉虽然是数学家,但考虑到他逝世后33年(即1643年),牛顿才出生,估计他不懂关于弦振动的偏微分方程,没有频率检测仪器,也不懂波的正交,他是怎样发明(发现)音阶十二平均律的呢?有两点猜测:

   (a)在合奏时,在固定张力下,把琴弦缩短一倍,得到的高8度旋律,发现它与中8度旋律听起来很和谐,这属于发现

  (b)按压琴弦时,按 1.0594:1 的比例来缩短琴弦(升高半个音),比较适合手指头的分辨率,这也能解释在拉二胡或提琴时,各“把”(例如中八度和高八度)中,升半音需缩短琴弦的绝对长度是不一样的,但有一个不变量,即各音阶所对应的弦长之间的公比,在自然规律的基础上制定了规范,这属于发明 

   多做些实验,把不同的琴弦长度、聆听感觉等,记录下来,再手工做一下数据挖掘,就能得到规律了。朱载堉是否这样挖掘出来的?这里的猜测权当戏谈。


  Now ,言归正传。
 
5 构造小波正交标准基
  前面解释了“适当“的平移和 “适当”的缩放可以创造正交的机会。 “适当”二字中包括向量间的正交性,整个集合的完备性(不缺少)和无冗性,也包含了数学家们的闪光智慧和一言难尽的酸甜苦辣。
  下面的集合就是一个harr小波正交基   

 

 

 6 小波基的完备性。上面的小波基的完备性是靠人海战术完成的,例如j=3, 缩小到1/8的尺度,就有8个这样瘦波,他们依次平移,挨个儿塞满了那个[0,1]区间。为了下面的方便, 给前面几个基向量取一些夸张的绰号:
  J=0,只有一个,取名冬瓜 (尺度最大)用汉语拼音首字母,记为D
  J=1, 有两个, 取名土豆, 用汉语拼音首字母,记为T
1, T2
  J=2 ,有4个。  取名芝麻,  用汉语拼音首字母,记为 Z1,  Z2, Z3, Z4.

 

7 观察波形的显微镜
  7.1朴素丈量原理。朴素的丈量,是用一个做标准的尺元,去匹配对象,看对象是尺元的多少个整数倍,这要求尺元比对象小,学生尺最小单位是1mm,则不能精确测量小于1mm对象。“百步穿杨”就是用“步”度量长度,如果长征时有现在的健身用的计步器,则对万水千山的长征历程的丈量可以精确到“步”。红歌“红军鞋”中唱道:“红军鞋是我的量天尺,穿上它,万水千山也能量完”,不但意境美,旋律美,也符合测度原理。
 
7.2 焦点访谈:关注波形局部性质。考虑下图的波形中小方框里的那段波形W的构造,太小了,看不清楚,怎样做适当的“放大”呢?,如果是社会问题,央视会派一个记者组,去做一次焦点访谈。访谈常讲究地位匹配:小人物由小记者采访,大人物由大记者采访,如央视的水均益常作高端人物访谈节目,数学的焦点访谈也讲究尺度匹配。  

 

 

  用第5小节的小波基(冬瓜、土豆、芝麻波等)去丈量它。小波基中有无穷个元素,一般只要前面的一部分组成焦点访谈采访组,就可以达到足够精度。把小波基平移到待观察的小方框的中间的横坐标处,让W在小波基上分解。假定结果为 W= 7*Z1+2*T2 , 这说明:
  (1)W 与冬瓜波正交(无关),(大尺 不量 小对象);
  (2)
注意芝麻波在[0,1]区间中位置,Z1是四个芝麻波最左边的一个,Z2向右边平移了一点,Z4最靠右边.同理,在[0,1]区间中,土豆波T1靠左 ,T2靠右;所以从假定
W= 7*Z1+2*T2得知W的左边部分是芝麻波Z1在纵向上放大了7倍,而右边部分由土豆波T2在纵向上放大了2倍。
  (3)
Z1中有一上一下的波动,其尺寸比较小,用它做尺子,匹配对象的上下波动就比较快,所以W的左边有芝麻波的较高频率;而右边部分与土豆波2*T2匹配,有土豆波的上下波动频率。这就从数学上比较精确地描述了对象的局部性质,也符合直观的观察,左边部分波动剧烈一些,右边平缓一些。(注意,图只是个示意,上面的图不符合那个假定)

  小波基中有尺度从大到小的无穷个基小波,再小的对象,也有一款适合它。这是否达到了“显微”的目标?
  
  需要说明,笔者没有专门讲授过小波课程,在数据挖掘中有一章有基于小波的数据挖掘,为了回答学生关于“数据挖掘+小波”的问题,和学生一起学小波,一起讨论小波,做了一些直观解释。比喻和解释不能取代严密的推理和艰苦的学习。
  疏漏之处,请专家指正。

   写后感:科普博文是难者不会,会者不难。把教学经验和现成的PPT上,改写为博文不太难,花时间比较少。这个系列的博文,包括男女声合唱的正交性解析,都是教学PPT中提出来整理的。周末花一个小时作键(盘)耕(耘),既是手脑保健操键,又是休息。

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