凝聚法分层聚类中有一堆方法可以用来算两点（pair）之间的距离：欧式，欧式平方，manhattan等，还有一堆方法可以算类（cluster）与类之间的距离，什么single-linkage、complete-linkage、还有这个ward linkage。（即最短最长平均，离差平方和）

其他的好像都挺好理解，就是最后这个有点麻烦。。。

这个方法说白了叫离差平方和（这是个啥？）。是ward写那篇文章时候举的一个特例。这篇文章是说分层凝聚聚类方法的一个通用流程。在选择合并类与类时基于一个object function optimise value，这个object function可以是任何反应研究目的的方程，所以许多标准的方法也被归入了。为了阐明这个过程，ward举了一个例子，用的object function 是error sum of squares（ESS），这个例子就成为ward's method。

找了N多资料，终于把这个算法的过程搞清楚了。首先输入的是一个距离矩阵，知道每两个点之间的距离。然后初始化是每个点做为一个cluster，假设总共N组，此时每个组内的ESS都是0，ESS的公式，如下（从原稿《Hierarchical Grouping To Optimize An Objective Function》上摘的）：

$ESS=\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{1}{n}\left ( \sum_{i=1}^n x_i \right ) ^2$

我当时还有点蒙ESS是个啥？——我现在知道了，凡是蒙的都是概率没学好（我是说我）……先从wiki上转个公式过来：

这是方差的公式，写的再通俗点，就是：

$Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \left ( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right )^2$

等号两边同时乘上n，好了，你应该知道ESS是啥了——ESS就是【方差×n】！so easy了～～

但是等下——这看起来是个一维的公式啊——因为你已经知道ESS是【方差×n】了，那多维的还不会算吗？先求所有点的均值点 $(x_i,y_i,z_i,...)$ ，然后再算所有点到这个均值点（central）的距离（距离公式你得自己定，见开头，但是最后算出来就是一个数），然后把所有距离平方后加起来（此时即为方差乘上n），就得到ESS了。

说了半天光说ESS了，列位看官，人只有一张嘴，故ESS此处按下不表，接着说ward method。ward method是要求每次合并后ESS的增量最小，这怎么讲呢？还是上图吧（图是从youtube上的一个教程里截的）：

只看最下面ward's method的两个图好了，先看下面的图，合并前红色组和黄色组分别能算各自的ESS，总的ESS是什么呢？很简单，加起来就好了，即：

ESS（总-合并前）=ESS（红）+ESS（黄）+ESS（其他没画出来的组）

如果合并这两个组，则可以作为一个新组再算一个ESS，此时

ESS（总-合并后）=ESS（红黄）+ESS（其他没画出来的组）

你注意这里还没有真的合并，只是算了一下合并红黄两组的“成本”（即：ESS（总-合并后）-ESS（总-合并前），当然这个成本肯定是增加的），如果总共有N个组，必须把每两个组合并的成本都算一遍，也就是算N×(N-1)/2个数出来（是不是感觉运算量很大？不要紧，有快速算法），然后找里面合并后成本最小的两组合并。然后再重复这个过程。

我说清楚了吧！？

嗯，至于画的那个树状图的高度，可以认为是上面说的这个“成本”。

对了，还得说一下这个公式：

$TD_{c_1 \cup c_2} = \sum_{x \in c_1 \cup c_2 } D(x,\mu_{c_1 \cup c_2 })^2$

啥意思呢，就是说，如果用ward's method来度量两个cluster之间的距离，那么两个cluster之间的距离就是把这两个cluster合并后新cluster的ESS，其中x就表示合并前两个cluster中所有点，而 $\mu_{c_1 \cup c_2}$ 就是合并后那个新cluster的中心点（均值点）， $D(x, \mu_{c_1 \cup c_2})$ 就表示每个点x到中心点的距离，平方后加起来，就是ESS了。

好了，总结一下，ward's method是凝聚法分层聚类中一种度量cluster之间距离的方法。按照这个方法，任意两个cluster之间的距离就是这两个cluster合并后新cluster的ESS——说了这么多还真是惭愧，估计这些东西随便找一个数据挖掘的视频教程估计都有，我居然搞了这么长时间才弄懂。。。。

PS：附一段代码上来（快速算法）：http://my.oschina.net/songjinghe/blog/508553