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数学的逍遥

已有 5313 次阅读 2015-5-21 08:58 |个人分类:随想|系统分类:科普集锦

 

现代数学的基础是点集拓扑,拓扑由开集定义,而最有趣的开集或许是空集。空集“什么也没有”,却有最独特的性质。例如,空集的下确界(infimum)比上确界(supremum)“大”。因为上确界是最小的“大”而下确界是最大的“小”。集合越小,下界越大,上界越小——当集合小到“空”的时候,当然下界变得“最大”(即+ ¥)而上界变得“最小”(即-¥)。这个时候,“下界”大于“上界”——Garyl Wise & Eric Hall在《概率与实分析的反例》(Counterexamples in Probability and Real Analysis)中,将它作为第一个反例。所谓“反”不是违背逻辑,而是背离直觉。

空集虽空,却能与任何一个集合构成一个拓扑,一个最平凡的拓扑(trivial topology),它所有的点都粘在一起(lumped together),任意两点间的距离为零而不能被拓扑地分开,所以叫“不可分拓扑”(Indiscrete topology)。

没有空集就没有拓扑,空集没有元素,也就没有不属于任何集合的元素,因而它是任何元素的子集。换句话说,因为空无,所以无处不在,所以逍遥自在。

空集的“没大没小”和“不分彼此”很有生活的趣味:内心的欲望越空,越是强大无穷;越是平凡,越能逍遥自在。庄子的《逍遥游》历来有不同的解读,我们现在加一个:空集的逍遥。其实这也是庄老师所谓的“虚室生白,吉祥止止”(《人间世》)。

突然发现今天是“小满”,小满的日子说“空虚”,倒也拓扑有理。






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