刘老师说“理论物理研究生不能不学微分几何”（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3377&do=blog&id=873099 ），我们应该认真学习深刻领会，当然更要落实到行动上来，我这会儿就把见过的几本书引介给新同学。

最入门的大概算二陈（陈省身和陈维桓）的讲义（《微分几何讲义》，北大版，现在好像有世图公司的英文版）——这本书不大不小；后来维桓先生又编了两本《黎曼几何引论》，可以补充。不过，我感觉更有趣的还是伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）先生的《黎曼几何初步》（北京大学数学丛书，刚看见新版为高等教育出版社“现代数学丛书”46，又买了一本），有会儿我还拿它当枕边书呢。如果数学概念都像伍老师那么讲，喜欢数学的同学大概会多100倍——看一段序言，就能领略伍老师课本的趣味： 

我希望你们能够完全以直观的眼光去了解这本书的内容。所有数学书都是充满了技术性的术语的，因为为了要表达清楚，作者毫无选择的余地。但是一个数学工作者的思考，大部分时间是靠直观（甚至是过分简化的直观）的想法来向前推进的。在几何学上这一点尤其是重要。所以书内这一类直观的讨论，比其他的数学课本会多一些。也许你们还迷信所谓的“数学严格性”，以为数学上最重要的事是每一步推论的正确性。这个论点，相当于说鲁迅文章的好处，主要是每句话都写得很通顺。我希望你们不会犯这个“见小不见大”的毛病。 

伍老师还有一本为数学家写的广义相对论，学数学的可以看；学物理的同学也许更应该看看霍金的《时空的大尺度结构》（The Large Scale Structure of Space-Time）（湖南科技出版社同时出过它的中英文版）。传说有物理学家告诉霍老师说，看几页就不行了（杨振宁先生说他看Steenrod的《纤维丛拓扑学》，也看不下去）——我怀疑故事是假的，无非想说那书好难。其实，看懂它并不需要准备太多东西，只需要一点黎曼几何和拓扑学，外加一点数学的感觉。梁灿彬老师有三卷《微分几何入门与广义相对论》（科学出版社），比霍老的书容易一些，可以作为参考。（梁老师在书中提到Wald的广义相对论，也可以看看；我只是学相对论时见过它的“残本”。） 

霍老的那本书，最有趣的是奇点定理的证明，而工具恰好可以在Milnor的《Morse理论》中找到——那是诗一样的数学小品（市面有英文本，中译本只有在图书馆找了）——当我发现那个原先不知有什么作用的数学玩意儿能为宇宙描绘蓝图时，不得不再为数学的unreasonable effectiveness感到惊奇和欣喜。还有个小故事，也说明微分几何的妙用，我以前说过，再啰嗦一遍：霍金的朋友Kip Thorne考虑时间机器时，计算了球对称虫洞的情形，说明虫洞的存在需要奇异物质。霍金的学生Don Page告诉老K的学生说，“根据霍老师书中的命题9.2.8，自然就得到那个结果了。”老K费力算了半天只得到一个特例的结果，而用微分几何的方法可以自然而简单地证明一个普适的结果。微分几何在现代物理学（可能还有其他学科）的作用犹如微分方程在经典物理学的作用。面对21世纪的科学问题，怎么能停留在19世纪的思想方法呢？ 

基础微分几何的课本群里有一位“大叔”，就是Michael Spivak的五卷本Comprehensive Introduction to Differential Geometry，题为“引论“，引的路却很幽深，特别注重概念的历史渊源（例如，它里面就有黎曼同学关于几何假设的那篇著名演说的全文）。它做课本显然不合时宜，但可以留作小资料库，“时时勤拂拭”，也能增点儿佛性。顺便说一句，Spivak有《流形上的微积分》的小册子，高等数学的同学看看它，也许会对数学有更亲切的感觉。 

前几天买了一套俄罗斯的几何课本——近年欧美的书多了，俄罗斯的少见——《现代几何学：方法与应用》（3卷本，高等教育出版社），从张量分析讲到同调论，很适合学物理的同学。（这套书的英译本早就列为GTM93,104,124，中译本似乎是根据俄文新版翻译的。当然，GTM里还有很多几何和拓扑的书，都该看看的。）这套书是莫斯科大学教学现代化（从1971年开始）的成果。他们认为，几何之用不仅在于曲线和曲面，还应该包括以下的东西（同学们也可以从这儿知道应该学什么）：

l        the theory of tensors (including covariant differentiation of them);

l        Riemannian curvature;

l        geodesics and the calculus of variations (including the conservation  laws and Hamiltonian formalism);

l        the particular case of skew-symmetric tensors (i.e. "forms") together with the operations on them;

l        the various formulae akin to Stokes' (including the all-embracing and    invariant" general Stokes formula" in n dimensions).

l        manifolds, transformation groups, and Lie algebras, as well as the basic          concepts of visual topology. 

科学出版社近年引进了一系列数学名著，有几本是现代几何的，我在以前的书单儿里引介过（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=279992&do=blog&id=395634）。它们做课本似乎不合适，但当休闲读物还是可以的——我们现在动手（敲击键盘）太多而动脑太少了，如果不看几页费神思的东西，人脑就真不如电脑了。软件提高了效率却消磨了思想，我们正需要新的思想来填充被芯片占据的大脑。微分几何那么有趣，那么美妙，像大麻一样诱人上瘾，呼吸了它的清新气息，其他数学的味道就显得有点儿雾霾和寡淡了。

Spivak大叔的封面，想上船吗？