有博友在前几天的《哥德尔的失落》下留言：

我们知道，在数学上,线性的东西，还有欧几的东西，相对都比较容易，往往中学生就可以理解，非线性的问题非欧几何的都很难，这是不是跟宇宙在相当大范围内都可以看做是线性的和欧几的有关？换句话说，如果宇宙在日常生活的尺度就表现出强烈的非线性和非欧性，那是不是这些东西学起来就会容易得多了呢？

另外一个问题，非欧和非线性的问题难，是不是说明我们到现在还没有找到特别好的数学工具？

这是几个有趣的话题，于是敷衍成篇，谈谈我自己的偏见。根据提问的内容，大概可以分三股来说：

1）线性和非线性，与欧和非欧，没有对应关系，欧氏空间里也有非线性的东西，非欧空间里也可以讨论线性算子。实际上，现实世界的所有非线性现象都是在欧氏空间背景下发生的；而我们描述Riemann几何的张量，倒是一种多重线性映射——当然，在把空间（流形）局域线性化（坐标卡）以后。另外，波动方程式线性的，所以量子态能叠加；引力场方程式非线性的，所以现在还没办法将它量子化——其实我们也不知道是不是一定要把它量子化。非线性的复杂与线性的简单，与数学/物理理论的难度也没有关系。对多数同学而言，量子论的数学比相对论的数学简单，但对理论家来说，相对论容易理解多了，量子论却越想越不懂。

2）如果宇宙在日常生活就表现出非欧性，我们当然会更容易熟悉和习惯非欧几何。盖莫夫的漫游记（Mr. Tompkins in Wonderland系列）就是那么想象的，假定光速很小（如30km/h，原书是多少，忘了）而普朗克常数很大，那么骑自行车的人感觉街道变短了，咖啡馆里的人可以穿墙出入……从这儿也看出，那只是一个熟悉和习惯的问题，不是难易的问题，更不是正确与错误的问题。很多东西我们没有经历，想象力又不够，就觉得难了——想象不够的时候就相信数学，因为它已经超越了想象。非欧几何比欧氏几何难吗？不一定——Poincare建立了二者的平行关系，可见是一样“简单”或一样“困难”。总之，这儿的难易，主要是学习和熟悉的事儿，与几何本身没关系。

3）非线性问题确实难，这是真的难，是现象本身的难，很多问题确实没有好的数学方法。

我先看这个问题，还感觉可能有另一个意思：我们用“很难的”非欧几何来描述宇宙，是不是有问题？应该找更好的更简单的数学来描述它。从现在的形式看，我觉得Riemann几何写的宇宙已经很简单了，其实比古老的宇宙学简单得多，也比牛顿的宇宙简单，因为场方程实在太简单了，G = T，而已。

问题里多次提到“难易”，我感觉它们的层次是不同的。一种是知识的递进，后来的当然比过去的“难”，但通过学习是可以让它容易的；还有一种是与直觉的远近，符合直觉的感觉容易，不符合的感觉难，这是习惯问题，或想象力问题，与学问的难易无关；最后一种是真正的难易区别：总的说来，线性的简单（尽管具体的数学也可以很难）；非线性的难，有的问题连现象都没弄清楚，更谈不上理论了。

                    Gamow想象的世界，光速很低，骑车也能感觉相对论效应