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说“派” 精选

已有 3568 次阅读 2012-3-15 08:46 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦|关键词:class,face,office,style| office, style, class, face

 

昨天是“p”(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=279992&do=blog&id=303081),下午才想起,于是给自己设一个题目:说说它吧。

 

这两天好像研究生要面试了,如果我参加(我不参加)提问,我会顺便问同学:从它你想到什么?

 

也许先会说祖冲之,那是当然的,想起113355也好;不过我想至少还应该想到三角函数,特别是谐振子的周期。只有在分析里,那个数才有比例常数以外的意义。而且,“周期”似乎是它更伟大的意义。

 

在那篇有名的《数学的莫名其妙的效用》里,作者(忘了)开头就举了一个例子:有个人问他朋友做什么,朋友说做人口统计。那人就问,那你干嘛画圆呢?原来他看见p了——这个问题也可以拿来问非数学专业的同学:p是怎么跑到统计里面去的?更具体说,p咋会出现在正态分布里呢?

 

更有趣的例子是Euler公式e^ip + 1 = 0,大自然最基本的5个数字,竟然有如此的关联,真是太奇妙了。更一般说,exp(iq)是一个相因子,也是电磁场的“规范变换”,因为有了周期性,也才有了量子化。狄拉克的磁单极就是这样导出来的——我还记得第一次在经典电动力学里看到这个东西时的情景。

 

还有一个普通的事实:它是平面三角形的内角和。如果在曲面情形,内角和还要加上三角形所包围的曲率——更一般说,这就是Gauss-Bonnet定理,而它的特例就是在中学里见过的欧拉公式:V – E + F = 2(多面体的顶点数减去棱数加上面数等于2),由此可以证明,在我们生活中的三维空间里,只能存在五种正多面体,就是古人用来解释世界的那五种“柏拉图体”……

 

Gauss-Bonnet定理的推广,更有意思了,推到极致,就是Atiyal-Singer指标定理,它把分析、几何与拓扑都联系起来了,也成了物理学的新工具……

 

 

 

 



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