yonglie的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/yonglie

博文

数学与神学

已有 8243 次阅读 2010-4-13 09:10 |个人分类:数学|系统分类:科研笔记

 
 
那天说大数(http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=309624 ),有朋友问无穷大的无穷次方是多少,这是一个有趣的问题。借题发挥几句。
 
我们知道自然数是无限多的,那个多(叫无穷集合的“势”)就是普通的“无穷大”(一般用希伯来文的第一个字母来表示,可惜这儿显示不出来,暂且用A代替)。  
整数好像比自然数多一倍,但它们能一一对应起来(这叫“可数的”),所以也是无穷大。  
同样,有理数还是那个无穷大。  
但是,实数就不同了。实数不能与自然数一一对应,所以是“不可数的”,它的无穷大就比自然数的高一级,叫“连续统”。  
自然数的势是A,实数为2^A。  
那么,在A与2^A之间有没有中间的无穷大呢?  
没有。这就是著名的连续统假设。1900年Hilbert将它列为23个数学问题的第一个,因为它关乎数学基础的基础。老希是数学形式主义学派的奠基人,希望通过内在的和谐将古典数学从直觉主义解放出来,通过适当的一套程序法则,证明在经典数学里不可能出现矛盾的结果。
 
可是他的梦破灭了。1931年,奥地利数学家和逻辑学家哥德尔(Kurt Gödel)用形式主义和直觉主义两派都能接受的方法证明,对一个足够丰富的演绎系统,如希尔伯特那样的经典数学系统,不可能用系统内的方法来证明系统的一致性。而更基本的结果是,哥德尔证明了希尔伯特系统是不完备的——换句话说,如果和谐了,就不会完备;如果完备了,肯定就不和谐。在系统内一定存在“不可决定的”问题,而系统的一致性恰好也属于那样的问题。
 
不幸的是,作为数学基础的连续统假设也是那样的问题。(哥德尔就不相信它。)
 
连续统假设是康托(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor,1845-1918)提出的。另一个大数学家克罗内克(Leopold Kronecker, 1823-1891)却攻击康托的研究是神学而非数学。其实,康托对中世纪神学很感兴趣,如果没成为数学家,他很可能玩儿哲学或神学。
 
我们知道,老爱也曾经攻击量子力学是不完备的。尽管他们的论证涉及了数学本来不涉及的实在性,问题的本质与数学的完备性有些不同,但那大概也说明了,人类自己似乎不能让理论“自圆其说”,而总需要体系外的东西来帮助。1956年,F. De. Sua说过一段很有意思的话(我不知道Sua是做什么的,这段话是从数学史家Eve的《数学圈》转抄下来的):  
假如我们大致把宗教定义为依赖于某个基本信仰的任意学问,而与任何可能的理性元素无关,那么,在这样的定义下,量子力学就是一种宗教。而数学将处于一种独特的地位,它是惟一能严格证明它确实应该如此归类的神学分支。  
当我们在数学或物理以外提问,提出本不能由它回答的问题时,要么就走进哲学,要么走进宗教。反过来看,数学物理似乎注定了要影响哲学和宗教,从而也要影响人的信仰。
 


https://blog.sciencenet.cn/blog-279992-311481.html

上一篇:一个浪漫的数学问题
下一篇:过黄山,忆江南
收藏 IP: .*| 热度|

14 武夷山 鲍得海 陈绥阳 钟炳 黄晓磊 柳东阳 蔣勁松 陈胜华 陈湘明 刘波 焦宏远 iwesun luxiaobing12 zhshjj368

发表评论 评论 (2 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-4-19 08:19

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部