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数学的直观原则
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很多人误会数学，很大程度上是因为数学不“具体”，不直观，不能立刻将概念与现实的东西联系起来。希尔伯特写《直观几何》，大概是为了让哥廷根大街上的任何一个人都能明白数学是什么。有人（好像是物理学家）说过，如果你不能向大街上遇到的随便什么人说明你的思想，那思想就不算成熟。
翻检旧笔记，看到Polya的一段话，正说明了这个问题。
Polya是寿星大数学家（1887-1985，生在匈牙利，），更是数学教育的大家（在小爱的母校ETH做过教授，当过冯诺依曼的老师）。他有趣而浅显的《怎样解题》，也有揭示数学三昧的《数学与猜想》，还有贯穿他的教学思想的《数学分析中的问题和定理》。他的教科书似乎不多，但有一本与众不同的《复变函数》（高等教育出版社曾出中译本），初学复函数的同学不妨找来看看。而对老师来说，老先生的前言也是可以借鉴的。他“在给未来的工程师和物理工作者讲了几十年复变函数以后，对他们的要求和爱好有了明确的概念。”
我在教一代又一代的学生时，力图使自己的讲课适应他们的观点。我逐渐形成了下列指导原则：@ 讲课从某种熟悉的、有用的或能激起人们兴趣的事情出发，从与我们周围的世界的联系出发，从某些应用的前景出发，或从某个直观的概念出发。@ 敢于使用通俗的语言，只要它比传统的准确术语更具启发性。事实上，在学生未能理解专门术语的必要性之前，不引进它们。@ 不要过早或过深地涉入证明的复杂细节。首先给一个一般思路或只给一个直观的初步证明。
我简单说这就是学数学和用数学的“直观原则”。根据这个原则编写的数学课本不多，但老师可以根据这个原则讲课，同学也应该根据这个原则去把握概念——如果不能将一个概念直观地表达出来，不能发现它与其他概念的关系，就不算明白。数学家早就说过类似的话。
对应用学科的同学来说，直观的原则是应用数学方法应该坚持的第一原则。我看过一些同学的论文，借数学物理的方法来解决工程或环境问题，常常先抄一段课本，算是介绍方法；然后就把数据套进去，列出计算机的处理结果。我看半天也不明白那个实际问题如何满足那个方法的逻辑，而实际的数据怎么就成了方程里的变量。我的建议是，首先将实际问题转化为数学问题，将数据转化为模型里的变量，最后还要让计算结果回到现实，说明它的实际意义。也就是说，在用数学之前，要将那数学直观地与需要解决的问题联系起来；如果不能把数学直观，或不能将问题抽象，就等于什么也没说。
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