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Alice的数学（1）
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可能的和不可能的
如果要我向同学们推荐一本书，而且只能一本，我想也许是“爱丽丝”（Alice in Wanderland and others）。如今外文书店很容易买到，甚至还有插图本的卡洛尔（Carroll）全集。维多利亚女王知道了一定高兴，她当年叫人把卡洛尔的作品都拿来，结果只看到一堆数学论文。
这是一本最有意思的没有意思（nonsense）的书。老和尚对话，暗藏“禅机”；小朋友说话呢，没有意思里藏着最大的意思——这一点倒是颇像数学家。费曼在《物理学定律的本质》里有两句说数学家的话，可谓“入木三分”：
数学家只关心结构和推理，并不真的在乎谈什么。他们甚至不需要知道谈什么，或者，正如他们自己说的，不需要知道他们谈的是否真的正确。
我们普通人很难说得出一句没有意思的话了，所以要向小朋友学习，向Alice和她的伙伴（有动物，也有扑克牌和国际象棋的棋子儿）学习。Alice曾向柴郡猫问路，那段对话我们听过了（“奥数的末日”）；现在来听皇后（一颗棋子儿）对她的教导（Through the Looking Glass and What Alice Found There，第五章）：
爱丽丝笑了。“那也没用呀，”她说，“人不能相信不可能的事情。”“我敢说你练得不够多。”皇后说，“我在你那么大的时候，每天都会练半个钟头。有时候，在早餐前我能相信六样不可能的东西呢。”
皇后陛下的话，我们正可以贯彻落实到数学上面。她要我们熟悉反直觉的东西，而这些东西，在数学里最多。数学与我们的直观发生冲突，就因为它有好多可能的事情其实不可能，而不可能的事情或许很可能。
我们来看一个相当直觉的事实：如果有很多堆苹果，那么我们总能从每一堆里捡出一个苹果来，另放一堆。
抽象地说，“设C为非空集合组成的集合，则可以从C的每个集合选一个元素，构造一个新的集合。”这就是“选择公理”。
我们相信能随便拿苹果，选择公里当然是成立的。不过，1924年，Stefan Banach和Alfred Tarski发表了一个“定理”，大概意思说，一个不论什么尺寸的固体，如一粒豌豆，都能分解为有限多个碎片，然后可以用它们组装成一个任意形状和体积的东西，例如太阳。换句话说，我们可以“剁碎一粒豌豆，还你一个太阳！”定理发表时，很多数学家都不信，所以说它是“悖论”，认为是最荒唐的事情。还有家长向政府报告，严禁在学校讲这种玩意儿。
Banach-Tarski定理的基础正是“选择公理”。好了，皇后可能会问我们，“你想拿苹果呢？还是愿意拿太阳换豌豆？”
（对BT悖论感兴趣的同学，可以看一本小书：Leonard M. Wapner, The Pea and the Sun, A Mathematical Paradox, 中译本应该在进行中了。）
Sir John Tenniel为Carroll的Alice画的插图
https://blog.sciencenet.cn/blog-279992-245815.html
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