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台球的数学 精选

已有 5221 次阅读 2017-8-14 08:42 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦


  一个月前(7月14Maryam Mirzakhani开了数学世界,学了一点她的工作,看她为数学的“统一性”添了一幅大画。从Atiyah讲统一,还是老的“三大块”:代数、分析和拓扑(他的指标定理关联的三家)。MM的工作所体现的统一性更具体了,联系着动力系统、固体物理、复分析、代数几何、组合学、数论……动力系统从前是微分方程的一部分,通过MilnorSmale等前辈的工作,如今已独立分支,且与众多分支交叉。

   在动力系统的模型中,有一个“家族”是台球的。球的碰撞直观模拟了刚体的弹性碰撞,是很现实的“模仿”。接着,幻想来了。Yakov G. Sinai在台球桌中间挖一个洞(球桌有了凸形的边界),用一个球来模拟理想气体分子,这就有点儿超现实了,领域也从牛顿力学跨界到了热力学和统计物理学,还走进了混沌——混沌之源就是那个弯曲的边界。

  台球动力学的形式演化比它的物理内容有趣多了。从台面抽象出多边形,从多边形构造平直面(flat surface);而多边形嵌入复空间,平直面是复平移群的商空间。于是在几何与复分析之间存在有趣的对应,特别是平直结构对应于带全纯1-形式的复结构,那么几何都可以用1-形式来描述,定义多边形的矢量将对应于模空间里的上同调类。

  MM的台球动力学,不关心一桌球,而关心宇宙间所有可能的桌球;她不问球怎么在桌上运动,而是看球桌本身怎么动——看它怎么在一定的法则下变形。总的说来,MM将动力学转换为几何。系统动力学问题,在几何上成为黎曼曲面的测地线问题。MM的一个结果非常有意思。原先70多年前,Delsarte Huber和Selberg发现双曲面的闭测地线的数量满足类似素数的分布(所以也叫“素数定理”),即N(X, L) ~ exp(L)/L。(这也是对数小于L的素数个数。)MM的博士论文证明其中“简单的”(无自交点)闭测地线数量~L6g-6,远不如总量那么快地随测地线长度而增加。

  我忽然想起,形式如素数定理的分布,大自然里好像很多,感觉它们都混合了两种性质的过程,一种是系统动力学决定的,一种是随机的。数学也从逻辑上导出某些分布,但不知道它们的意思。假如在数学中增加物理的假定,那么也许可以反过来从物理过程来“证明”数学。让物理假定进入数学,好像会玷污数学的纯洁;但实际上欧氏几何的几个“公理”就是物理性的假定。那么,再多几个动力学的假定,也算不得大逆不道。








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