有本小书，Symmetry and the End of Probability (似乎非“正规出版物”，CreateSpace Independent Publishing Platform (February 16,2011))，题目好玩儿，作者T Tran博士，研究过尘埃颗粒和飓风的湍流，对概率论大不满，所以如此诅咒。不过，想end什么理论的秀才，似乎都没能成功。

  概率与对称自有渊源，概率论一开始就建立在对称性的基础上，即Laplace的等概率定义——然而这是逻辑循环的，用equiprobable来定义probable！（有点儿像相对论，以时空里的光速不变来定义时空几何。）

   在实际感受中，概率的或随机的事件之所以存在，是因为我们找不到确定的原因，或者说所有可能的原因起着相同的作用——也等于说所有原因都不起作用——这也是一种对称性。

   概率是对群体事件的描述，对单个事件其实没什么意义。例如，一个事件总是要么发生，要么不发生，没有发生70%而不发生70%的。那个概率数值的意义仅在于我们假定，假如同样的条件出现100次，那么它发生70次——然而事实是几乎不可能让自然替我们实验100次。何况，对我们概率认识的那些事件，几乎不会出现100次“相同的条件”。还好，各态历经假说勉强让我们能用不同时空的多个事件的统计结果来为单个事件的概率找一个经验的借口。

   经典概率的问题也是偷偷摸摸的，没见哪本教科书正面而确定地回答过。例如著名的Bertrand悖论：在圆中“随机”画一根弦，其长度大于内接正三角形边长的概率。分别以弦的端点、半径和中点的角度考虑，可以得出三个不同的答案（1/2，1/3和1/4）。

   从三个答案可以看出，概率与弦的画法有关；换句话说，老B的题问得不够好——他没规定弦的画法，谁也不知什么叫“随机”地画。于是，Edwin Jaynes写了篇The well-posed problem，提出一个更对称的“最大无知原理”：即不用问题里没有给出的任何信息。J把“随机画”弦改为向一个圆圈里“随机”扔稻草，扔给大圆的结果应该与扔给小圆的结果相同，即问题与大小无关；当然，也该与位置无关——因此他要求问题的解法是平移不变和标度不变的。他认为只有第二个解法满足这些要求。不过有人从同样的原则导出了其他两个答案（毕竟三个观点也是“平等对称”的）。

  也有人说悖论本不悖，只是感觉悖而已（ZalánGyenis and Miklós Rédei: "Why Bertrand’s Paradox Is Not Paradoxical but IsFelt So". In U. Mäki et al. (eds.),Recent Developments in the Philosophy of Science: EPSA13 Helsinki, EuropeanStudies in Philosophy of Science 1, DOI 10.1007/978-3-319-23015-3_20）。这里的事件显然是不可数的多，如果还用“无差别原理”，那么概率空间需要重新定义（他们定义它为一个紧致的拓扑群，而测度是其子集的Borel代数决定的Haar测度）。接着，他们定义一种“标记不变性”（Labeling Invariance, LV），即重新标记概率空间的事件，不会改变事件的概率。（新标记的空间与原来的空间是同构的。）标记不变性即我们通常直觉的“标记无关性”（Labeling Irrelevance, LR）。但在老B悖论中，LV在Harr测度空间里不成立，它不能用来描述LR，因而违背LV也不会破坏LR。老B悖论的原因就是混淆了直觉的LR与不复存在的LV。从这点看，概率的悖论与集合论的悖论一样，最终落到了“公理的选择”——归根结底还是我们的无知。