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【相对论讲座】双生子佯缪
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—— 相对论“时间膨胀”现象浅说（四）
我们在前面几讲介绍了洛伦兹的“时间膨胀”（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=279604&do=blog&id=791240）和爱因斯坦的“时间膨胀”（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=279604&do=blog&id=794732）。爱因斯坦相对论“时间膨胀”的一个后果是“双生子佯谬”。洛伦兹的“时间膨胀”假说是建立在绝对速度之上的，因此绝对速度不同的两个参照系的变化是不对称的，不存在A>B和B>A同时出现的逻辑困难。爱因斯坦相对论由于使用两个参照系之间的相对速度代替洛伦兹等人考虑的绝对速度，两个参照系之间的相对速度必然相等，导致任何长度和时间变化必然是对称的。如果速度效应不是观察者的视觉效应，那么，相对速度基础上的“时间膨胀”需要接受A>B和B>A同时出现的逻辑困难。爱因斯坦相对论是唯一被认为正确而同时又导致无数paradoxes（悖论、自相矛盾）的科学理论。相对论学者认为相对论paradoxes不是真正的paradoxes，而是假paradoxes.因此，paradox在相对论语境下的中文翻译是“佯谬”。相对论“佯谬”中最著名者是“双生子佯谬”。虽然人们已经写了不计其数的解释，但是并没有一个让所有相对论学者满意的解释。本博文打算介绍一下双生子佯谬的提出过程和几种解释，下一篇博文将对双生子佯谬及这些解释做细致一点的分析。
一、“双生子佯谬”是谁提出来的？
“双生子佯谬”的提出一般归功于法国物理学家郎之万。爱因斯坦的“狭义相对论”提出后不久，物理学家朗之万（Langevan）在1911年就提出了“双生子佯缪”的问题（Scientia 10: 31–54）。如果双胞胎中的一个乘飞船以近光速旅行，根据爱因斯坦相对论的“时间膨胀”效应，对于地球上的同胞兄弟来说，旅行者的时间变慢，因此比地球上的兄弟年轻。而对于飞船上的兄弟，地球上的那位也以近光速与自己做相对运动，地球上的同胞兄弟时间比自己的时间变慢，所以地球上的兄弟比自己年轻。如果飞船回到地球，到底是谁更年轻呢？实际上，郎之万在他的文章中并没有使用双生子的说法，他只是比较旅行者和留在地球上的人的年龄差别。虽然郎之万提出了双生子佯谬，但是他并不认为这是真正的paradox。他的理由是双方经历的物理过程不同，旅行者经历了加速、减速过程，地球留守者没有经历这些过程。他还认为，如果旅行者和地球留守者用无线电信号保持联系，旅行者和地球留守者会发现他们的时间是不同的。不过，郎之万没有给出详细的机制说明。
二、爱因斯坦对双生子佯谬的解答
七年后，爱因斯坦在1918年德国的《自然科学》（Natürwissenschaften 6 （Heft 48）： 697-702）上给出来他自己对双生子佯谬的正式解答。爱因斯坦认为整个过程分五个阶段，阶段1是加速阶段，阶段2 是匀速阶段，阶段3是加速阶段，阶段4 是匀速阶段，阶段5是加（减）速阶段。从飞船参照系来看，加速相当于地球时钟受到一个新引力场的作用。爱因斯坦的结论是：“计算表明地球时钟在阶段3的时间加快准确地等于其在第二和第四阶段时间减慢的两倍。这样完全消除了你提出的悖论/佯缪。”爱因斯坦的解答是以对话录的形式写的，“你”是假想的相对论批评者。
从当前的认识来看，爱因斯坦的解答在大方向上与不少现代相对论学者的观点一致，但是在细节上爱因斯坦的解答基本是瞎说。因此，他的解答没有被后来的教科书采纳，相对论学者一般也不使用爱因斯坦的解答。为什么说在细节上爱因斯坦的解答基本上是瞎说？爱尔兰学者凯利（A．Kelly）博士做了以下分析：
“空间旅行的双生子之一，离开，转向，再回来，加速期可以是任何长度和幅度，减速期也是一样。回程时的加速和减速与离程时可以完全不同。因此，我们不能说加速/减速引起的时间变化与（任意选定的）匀速期的时间效应正好抵消。举例来说，我们可以让稳定匀速期在离程和归程中各为1000年，而加速和减速期为1/100秒。或者让匀速期各为1/100秒，而加速和减速期为1000年。离程时的加速和减速可以比归程时的加速和减速大（或小）10000倍。说不论匀速期和加速期的长短如何，他们总是相互抵消，完全是一派胡言。”
三、现代相对论学者对双生子佯谬的解答
虽然现代相对论学者一致同意旅行者比留守地球者年轻并且其年轻程度符合洛伦兹时间膨胀公式，但是他们对如何解释双生子佯谬中旅行者年轻的机制并未达成一致意见。可以把他们的意见分为“广义相对论派”和“狭义相对论派”。有些现代相对论学者认为需要用广义相对论来解释为什么“双生子佯缪”中旅行者变年轻（“广义相对论派”），另一些相对论学者认为狭义相对论能够解释旅行者年轻的机制（“狭义相对论派”）。解释“双生子佯缪”中旅行者年轻的机制主要有下列几种：
1. 加速度及其相关引力场导致旅行者年轻（“广义相对论派”）。这一解释认为飞船经减速和加速飞回到地面，广义相对论的效应在起作用，飞船上的人因加速度的原因而真正有“时间变慢”，因此更年轻。这一解释沿袭郎之万和爱因斯坦的解释，其主要困难是很难定量解释旅行者与地球留守者的年龄差别。前面说过，凯利博士指出，匀速飞行的时间可长可短，加速和减速的时间也可长可短。如果两艘飞船加速和减速时间均为1小时，一个飞船A飞行了地球时间一千年，而另一个飞船B飞行了地球时间一万年。按相对论的结论,A和B上的人都比地球上的人年轻，但A和B谁更年轻了？加速和减速一小时，从近光速到0再由0到近光速，或再加一轮变化，由近光速到0，其时间效应应该是确定的，比如说慢100年或慢1000年。如果真是这样，近光速旅行1000年和10000年的旅行者的年龄与地球留守者的年龄差别就没什么区别了。如果不是这样，又很难想象加速和减速时间均为1小时的时间效应，既可抵消飞行了地球时间一千年（旅行者观察到）的对称“时间膨胀”效应，又可抵消飞行了地球时间一万年（旅行者观察到）的对称“时间膨胀”效应。
2. 参照系跳跃(“狭义相对论派”)。在《广义相对论第一教程》（Schutz，1985）中有另一个“双生子佯缪”的解释，这种解释使用了参照系跳跃的概念。意思是飞船减速再加速的过程使旅行者跳跃进了另一个参照系，在这个参照系中旅行者保持原参照系中的年龄，而地球上的双生子在新参照系中的年龄跳跃为t=t'/(1-v2/c2)1/2的近两倍。伯纳德·舒茨用的是几何方法，转化为代数方法就是如果在飞船转向时地球上的双生子自己度过了t年，他发现飞船上的双生子因时间变慢只度过t'年，
t'=t (1-v2/c2)1/2 (1a)
飞船上的双生子在转向时自己计数也度过了t'年，而飞船上的双生子在此时发现地球上的双生子度过了t''年，
t''=t' (1-v2/c2) 1/2 (2a)
不难看出，t''小于t'，并且远小于t。按伯纳德．舒茨的说法，飞船转向的过程使旅行者跳跃进了另一个参照系，在新参照系中，旅行者发现地球上的双生子已跳跃度过了
2t-t''=2t -t' (1-v2/c2) 1/2=2t'/(1-v2/c2)1/2-t' (1-v2/c2) 1/2
=t'(1+v2/c2)/(1-v2/c2) 1/2 (3a)
年。在归程中，飞船上的双生子到达地球时自己计数度过了t'年，在归程中他发现地球上的双生子又度过了t''年。因此当他到达地球时，他发现地球上的双生子共度过了2t年，而他自己则度过了2t'年（图1）。由此，伯纳德·舒茨得出了“双生子佯缪”实际上并不存在，其解释也不需要使用广义相对论，“双生子佯缪”只不过是由于人们不理解相对论所致。用三兄弟思想实验可以避免加速、减速的必要，即除了旅行者和地球留守者之外还有第二个旅行者向地球方向运动。当第一个旅行者与第二个旅行者相遇时，第二个旅行者把时钟与第一个旅行者的时钟对准，这相当于第一个旅行者在不经历加速的情况下调转方向。
图1 参照系跳跃解释旅行者比地球留守者年轻，1代表留守者的世界线，2代表旅行者的世界线，rs代表因参照系跳跃旅行者比留守者少经历的时间。e代表旅行者的转向点。
多数相对论学者支持这种解释，不过并不是所有相对论学者都接受这一解释。有些人认为这一解释不满足相对论的对称性要求，即如果飞船转向时地球时钟的读数（固有时）为t时，飞船时钟的读数(固有时)t’也应该等于t（即t’=t)。因此，参照系跳跃解释的主要问题是它没有摆脱洛伦兹理论的幽灵，仔细分析会发现这一解释深受洛伦兹理论的影响。这可能也是有些相对论学者坚持用加速度和广义相对论来解释双生子佯谬的原因。
3. 用电磁信号对钟（“狭义相对论派”），也就是郎之万提出的用无线电信号追踪对方的变化，本质上与参照系跳跃解释是一样的。DavidBohm（1965）在其所著《狭义相对论》给出了根据相对论多普勒效应的解释，飞船与地球始终保持无线电联系。如果无线电信号由飞船发出，从地球留守者的角度，他先接受低频率的信号，然后接受高频率的信号（图2）。北京联合大学陈其翔教授在科学网详细给出了这一解释方法的一种版本。下面摘录他的解释并略作评述。
图2 无线电波周期数解释双生子佯谬中旅行者比地球留守者年轻。飞船发出无线电信号。
如果由地球留守者B向旅行者A所乘的飞船发出电波，地球发射电波的频率均为no始终不变，而飞船接收的电波频率，会因多普勒效应发生变化。A从t’= 0~t1’飞离地球，并接收地球发出的电波，测得频率为n1’。按相对论多普勒效应公式，两频率之比应为：
n1’/no = (1－β)/(1－β2)1/2， （1）
A从t’= t1’~t2’返回地球，并接收地球发出的电波，测得频率为n2’。按相对论多普勒效应公式，两频率之比应为：
n2’/no = (1＋β)/(1－β2)1/2， （2）
往返飞行所用时间相等：t1’=T’/2，t2’－t1’=T’/2。飞船接收的电波频率虽变化，但发出电波振动的总次数N与接收的总次数N ’应该相等：N = N’。地球发出电波振动的总次数N=n oT，飞船接收到电波的总次数N’=(n1’＋n2’)T’/2，N = N’。由(1,2)式得：
T/T’ = (n1’＋n2’)/2no =1/(1－β2)1/2 （3）
得到：T = T’/(1－β2)1/2，即B所经过的时间T，比A经过的时间T’更长。
如果从飞船向地球发出电波，频率为no。地球留守者B，从t= 0 ~ t1，接收到飞船向地球发出的电波，测得频率为n1。按相对论多普勒效应公式，两频率之比应为：
n1/no =(1－β)/(1－β2)1/2， （4）
地球上的B从t= t1~ t2，测得电波频率为n2，t2 =T飞船返回地球。按相对论多普勒效应公式，频率之比应为：
n2/no = (1＋β)/(1－β2)1/2， （5）
到这一步，方程（1）、（2）与（4）、（5）完全相同，即由地球发出无线电波被飞船接收与飞船发出无线电波被地球接收是完全对称的。什么机制使飞船发出无线电波和地球发出无线电波都得到飞船时钟比地球时钟慢的结果呢？陈其翔教授的解释如下：
“由前面知，从A的坐标系S’看，t1’= (t2’－t1’) =T’/2，但从B的坐标系S看，t1并不等于(t2－t1)。但因n1频率变慢，可肯定是飞船飞离时发出的，振动次数为n1t1；n2频率变快，可肯定是飞船返回时发出的，振动次数为n2(t2－t1)，二者相等：
n1t1=n2(t2－t1) （6）
由 (4, 5, 6) 三式，可得：
(t2－t1)/t1=n1/n2=(1－β)/(1＋β)
t2/t1 = [(1－β)/(1＋β)]＋1= 2/(1＋β) （7）
从B的坐标系S看，t1时刻接收的电波是飞船转向前，在t1’时刻发出，又经一段距离L’=v t1’，需时△tL’=vt1’/c=βt1’后才收到。在t1时刻接收到电波这一事件，是从B的坐标系S看到的，此时A的钟上所指时间为t1’＋βt1’ = t1’(1＋β)，B的钟上所指时间应为：
t1= t1’(1＋β)/(1－β2)1/2 （8）
由 (7, 8) 二式可得：
T = t2 = t1[2/(1＋β)]= t1’[(1＋β)/(1－β2)1/2][2/(1＋β)]
= 2t1’/(1－β2)1/2 = T’/(1－β2)1/2 （9）
得到结果与前面第一种方法相同，即地球上的B经过的时间T，比飞船上A的时间T’更长，为T =γT’，γ=1/(1－β2)1/2＞1。”
坚持用加速度和广义相对论来解释双生子佯谬的相对论学者一般也不会接受这一解释。根据相对论的对称性，上述解释可能也可以用来证明飞船上A经过的时间T’，比地球上B经过的时间T更长，所需要做的是：
1）根据往返飞行所用时间相等：t1=T/2，t2－t1=T/2。地球接收的电波频率虽变化，但发出电波振动的总次数N'与接收的总次数N应该相等：N = N’。飞船发出电波振动的总次数N‘=n oT’，地球接收到电波的总次数N=(n1＋n2)T/2，N = N’。由(4,5)式得：
T'/T = (n1＋n2)/2no =1/(1－β2)1/2 （4a）
2)把“由前面知，从A的坐标系S’看……”对称性地改成“由前面知，从B的坐标系S看……”,得到
T' = t'2 = t'1[2/(1＋β)]= t1[(1＋β)/(1－β2)1/2][2/(1＋β)]
= 2t1/(1－β2)1/2 = T/(1－β2)1/2 （5a）
(4a)和（5a)表明，地球时钟比飞船时钟更慢，即双生子重逢时，地球上的兄弟比飞船上的更年轻。以上分析说明，参照系跳跃和电磁信号对钟这两种解释是用了洛伦兹观点(即地球参照系与飞船参照系除了加速度之外也不平等）才得到旅行者比地球留守者年轻的结果。
不考虑加速度的影响，地球参照系与飞船参照系应该是对称的。参照系跳跃和电磁信号对钟这两种解释的目的是除了转向外，不赋予加速度任何作用。从狭义相对论对双生子佯谬的解释来看，狭义相对论中真正起作用的还是洛伦兹理论的幽灵。
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