究竟有多少个锐角？

鲍海飞 2016-6-1

昨天晚上，在预初上学的女儿给我拿出了一道数学题，哈哈，这道题真让我费了不少脑筋，其实，题目也不是多难，只是自己好长时间不太接触了。题目如下：

在一个直角AOB内，从点O做100条射线，问一共有多少个锐角？

我于是采用最笨的方法进行画图推理。如果有一个射线,n=1，那么有两个锐角；如果有两个射线，那么有5个锐角。按照此顺序，当n=3时，有9个锐角、当n=4，有14个锐角…….

简单列出这几个数：2，5，9，14，20…….

解法1：发现一个规律：相间隔两个数的差是3，4，5，6……（每一个数等于前一个数加上这个差）

实际上，5=2+3，9=2+3+4，14=2+3+4+5

即：第n项有n个顺序数相加，从2开始，最后一个数是n+1。

那么，n=100时，所有数字的和T=2+3+4+……101，

一共100项。则表达式为Tn=(2+n+1)*n/2=（n+3）*n/2=（2+101）X100/2=5150

解法2：但是我更愿意用涉及到顺序n的公式来表示：

于是，2=1+1，5=1+2+2，9=1+2+3+3，14=1+2+3+4+4，20=1+2+3+4+5+5……

即第n项为又可表示为：Tn=n+Σn

故：T100=100+5050=5150。

当然，还可以列出别的表达式。

解法3：换一种思路。实际上，任意两条射线就构成一个锐角，那么结果就显而易见了。如果加上两个直角边，那么一共有102条射线，而每两条射线就可以构成一个锐角，这样就有C(102,2)个组合（102为小标，2为上标），即C102(2)=102*101/2=5151，显然应该减掉两个直角边构成的一个直角，故为5150。表示为：Tn=C(n+2,2)-1。但这已经属于高中数学课程了。

题解完了，有一些体会。

第一，问题只有一个答案吗？显然非也。一个问题往往会有多种结果，也就是解决一个问题会有多种思路和相应的解法。以前，我会认为，这样的题目很简单，递推数列公式的表达式只能有一个（记得在高中学习的时候，每一个数列就只有一个公式）。结果，通过该例表明，适当的变形就可以有其它表述。如果再用不同的思路，那么会得到意想不到的结果。上述方法1，方法2属于比较笨拙的土方法，归纳法，是一种根据部分对象的性质，从特殊到一般的推理过程，但其前提必为真；而方法3则属于较为高级的演绎法来分析问题了。思考问题还是要多角度，所谓发散思维可能更有效，对解决问题有意想不到的效果。即通过归纳法或者演绎法就会得到不同的解题思路。

第二，为什么一定要写出公式？因为只有写出解析的表达式，才能预言任一个序列上的结果，才能在理论上凝练、归纳和提升。这才是我们在教育上应该做的，让孩子知道公式、数字的奇妙，而不只是传授记忆的方法和窍门。

第三，模型很重要吗？一个公式其实就是一个模型，模型有助于理解和运用。有了模型就可以模拟和计算，就可以预言，而不只是跟着感觉走。当然，模型也可以看做是一种感觉。但是根据模型去走，就可以去验证我们的想法和推理，如果模型较为完善，我们就会减少走弯路和错路，减少不必要的时间和金钱的浪费。模型反映的是一种思路，学会建立模型就是一种智慧。

现在我们有许多学科，每门学科里面都有模型。如物理学中的宇宙大爆炸模型，原子模型等。一个化学反应就是一个模型，经济学里也有数学模型等。一方面我们可以从形象中得到理解和记忆，另一方面，一个模型还要能给出数量和预言的关系。因此，一个模型至少应该包含两个方面，一个是形，一个是数量。比如说：原子模型，我们不仅知道它像太阳系一样，星球围绕太阳旋转，我们还知道它的能级跃迁，还知道它的自旋等参数。

六一了，还算题！让不让人休息一下！

今天是六一节，祝孩子们节日快乐！