左右互搏---穿越与纠结的卷积

鲍海飞 2012-6-15

偶然发现了一年前科网上有几篇文章在讨论卷积的问题，卷积里面似乎隐藏着不少的神秘。近日也研究了一段时间有关系统响应的问题，其中涉及到了卷积，而卷积就是处理系统响应的一种方式, 经研究发现，有一些体会,看看这里面都有哪些神秘之处？

先来看卷积的定义。卷积的定义就是两个函数乘积后的积分：$I(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau )d\tau$ 。一个函数的设为f(t)，一般为‘外力’；另一个函数为g(t),一般为系统响应的函数，有权重之意。现在我们仔细来看一下里面的秘密。

神秘之一，$\tau $ 是什么？$\tau $ 其实是个时间变量，更确切地说，叫做‘哑元变量’或‘虚设变量’，在英语里称为dummy varible。因此，卷积公式中的左端I(t)不含有该变量。$\tau $ 是相互作用的时刻，可以不在‘0’点。

神秘之二，t-$\tau $ 又是什么？t也是一个时间变量，是系统一直在动(shifting)的时间变量。t-$\tau $ 则是隐含着一个系统的过去式，即系统有‘记忆效应’。函数g(t-$\tau $ )中就表明了过去的味道。

神秘之三，数学处理上为什么要采用一个函数滑过另外一个函数？这是一种图解、理解和处理方式。相当于一静一动两个函数在相互作用。有些人将上表达式中的g(t-$\tau $ )函数解释成，函数g(t)经过对y轴翻转(flip)（时间取反）变成了g(-t),然后加上平移量t(shift),最后变成了g(t-$\tau $ )。或者说，由于时间的移动，一个函数滑过(slide)另一个函数。在这里，我们看到数学的神奇之处，它让我们看到一个函数是如何穿越另外一个函数，从过去走向未来（预测一个系统的响应）！

为了解决系统的响应问题，卷积实际上是解决这个问题的一种非常有效的方法和途径。

比如，在一个二阶微分方程中：$m\frac{d^{^{2}}x}{dt^{2}}+c\frac{dx}{dt}+kx=f(t)$

该方程左边是一种质量-阻尼-弹簧二阶系统模型，其响应函数（其解）为g(t)；而方程右端是外界作用，比如外力函数f(t)。这样，当外力作用到这个系统上的时候，我们就可以通过卷积直接积分就得到了系统的响应，而不需要再去解复杂的微分方程了。

显然，在卷积的方程中$I(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau))d\tau$ ，是包含了系统的响应函数与外界相互作用的乘积后的积分,是一个时间的累积过程，两个函数‘穿越纠结在一起’，是左右两端函数共同作用的结果。这恰好像金庸小说中所描写的老顽童，两只手能够左右互博，左手代表了系统响应，右手代表了外力的作用，两只手相‘拍’才能发出声响。所谓的卷积乃是‘一拍即合（乘积后积分）’、‘左右互搏‘之术。而响应函数g(t)是通过求解二阶微分方程的单位脉冲作用后得到的。

上述过程也可以简单理解为，当系统响应函数或权重函数在经历$\tau $时刻后，外力函数f($\tau $)和系统函数响应函数g(t-$\tau $)开始相互作用。它实际上是描述了一个系统的过去和未来。

卷积最奇妙之处，是它和Laplace积分变换之间的关系。这是它的第四个神秘之处！Laplace积分变换是工程数学处理的一种最主要的运算方式，其包括了两个函数的相互作用（两个函数乘积后再积分）。对于两个函数及其拉氏积分变换后，设F(s)=L[f(t)],G(s)=L[g(t)],那么，L^-1[F(s)G(s)]=$\int_{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau $  。原来拉氏变换在这里和卷积是殊途同归！这真是数学的魅力！

英语里面converlution的含义中就有‘皱褶’之含义，就好像衣服上产生好多‘褶’，叠压在一起。在卷积的定义中，隐含着一个问题是，$\tau $+(t-$\tau $)=t,即在这个t的时间内两个函数之间的全部相互作用。也许‘卷积’叫‘叠积’可能更好。

卷积有许多重要的应用，除了进行分析系统的响应之外，比如在股票趋势分析判断上的光滑曲线处理，在图像处理中，对图像进行均匀处理；在数字信号处理中，卷积的一个作用是对数据进行平滑处理，和相关处理方法类似。

附录：

曹广福：大话卷积，http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-425602.html

吴中详：卷积卷不卷，http://blog.sciencenet.cn/blog-226-428153.html