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自然的先驱---音乐深处的灵魂(II)

已有 971 次阅读 2020-12-18 12:32 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦

自然的先驱---音乐深处的灵魂(II)

鲍海飞 2020-12-18

 

世界的本源是什么?是物质的,也是运动的。但究竟是什么样的运动?究竟遵循什么样的规律?从一个方面,音乐的探寻之路,一步一步向我们揭示了这个答案。

都说科学没有国界,实际上,真正没有国界的只有音乐。在物质的本体(如由某种元素构成)、形式(外在表象)与抽象之间,在科学探索之路上,音乐成了一种最为直接和有效而敏感的桥梁,连接了三者。就如伽利略痴迷望远镜一样,望远镜成了仰望天空的重要工具。人们触手可及的美妙乐器无疑提供了一种巧妙的实验工具,乐器里面包含着丰富的科学问题,由此揭示出了音乐的内涵和本质。音乐的科学本质就是体现了物质内在和相互作用的关系和规律,由此描绘出一套完整的涉及波与振动的科学理论体系。

4.大珠小珠落玉盘

音乐对人的影响力、穿透力和震撼力来源于与人心灵的共鸣。对凡夫俗子来说,音乐的表现,或感伤、或优美、或激扬、或悠远,所谓高山流水、归去来兮,激发了人的共鸣;但对一个富于思考的人来说,除此之外,音乐不仅能够激发人的想象力,音乐还能够给人带来一种洞察力,音调、节奏和类别等究竟代表了什么?对音乐的欣赏和理解,你听到的是声音和韵律,而他却听出了物理和数学。用耳来聆听,用心来体悟,音乐独特的魅力,引领人们走进自然与科学。无数的先人从音乐中为我们探索出音乐与科学之间有着紧密的联系、趣味、规律与奥秘,汇集成今天的科学。

物理学中,波的定义,一般指的是一个扰动在物质或者空间中能量的传递,几乎没有质量输运的过程。波包含着在某一相对固定区域物理介质或者场的振动,一般包括机械波和电磁波,声波就是一种机械波,而水波是一种复杂的机械波。

波有三个基本参数:频率(波长)、振幅和相位。对于声音来说,声波的频率决定了这个声音有多,频率越大,听起来就越;而振幅决定了它有多,而人耳对于声波的相位不敏感。人耳能听到的声波频率范围在20Hz20000Hz之间。


音乐是这样引领人们一步步走进科学。

波动方程的获得无疑与音乐分不开。达朗贝尔,法国数学家(Jean Le Rond D’Alembert,1717 - 1783),哲学家和音乐理论家。达朗贝尔的代表工作主要有波动方程以及虚功原理等,是牛顿力学的代表人物。在偏微分的工作上并将偏微分应用到物理研究上是先驱,曾经作为《大英百科全书》的数学和科学文章方面的编辑,工作了很长时间。

有史料记载,他虽然一出生就遭到遗弃,但幸运的是,他被人收养,并被父亲找到,又留给了他很多钱,随后又受到了较好的教育,大部分的数学是通过自学得来的。近朱则赤,近墨则黑。人生的朋友无疑非常重要,甚至影响人的一生。他对音乐感兴趣,所以对弦的运动和规律也就产生了兴趣,而这是因为他有个音乐理论家的朋友叫菲利普拉默(Jean-Philippe Rameau1683-1764)拉默认为音乐是有关数学的科学,从中可以构建相关音乐的元素和规则,并有相关音乐方面的著述等。达朗贝尔便写书倡导他朋友的观点,并发展自己的思想和理论,于是写了一本有关音乐和谐理论方面的文章。还有一个记载是达朗贝尔被邀请去审阅拉默的文章,他发现他们二人有关弦方面的研究和认识有许多相近的观点,于是他大加赞扬拉默。最重要的是,1746年,他利用牛顿-莱布尼芝的微积分第一个给出了弦的微分波方程以及由两个行波构成的解,他扩展了约翰伯努力(John Bernoulli,1707–1783)的振动研究。行波解的意义深远,它表明,振动方程的解除了可以由三角函数或三角函数级数叠加构成之外,还有一种由单独一个函数或其线性叠加的函数构成。这种函数更具有几何性质,同时,它也与伽利略变换所体现出的物理思想在某种程度上有许多相关性。自然的奥妙在于其内在的不谋而合。就是因为他在艺术与科学上广泛的兴趣,导致了他深深的洞察力。一位名叫安竹-克鲁美(Andrew Crumey)的人评价说:“达朗贝尔一定是被拨弦古钢琴(harpsichord)所触动,或许整个宇宙都由遵守一个方程的振动的弦构成。”文献描述:“拨弦古钢琴是在键盘的尾端装有拨弦的装置,其拨弦的拨子是以金属薄片包裹皮革制成,也有使用禽鸟的羽翎作为拨片,故也称这种琴为羽管键琴。按动音键而拨弦,十指可同时并用,弹奏出音乐。”因此有人说,整个宇宙就是由弦构成的,于是构造了宇宙的超弦理论。

物质之间是相互作用的,存在着因果关系;物质是运动的,更是振动的。先哲们承前启后,从点滴做起,构成了今天浩瀚的知识海洋。

1673年,荷兰科学家惠更斯(Christian Huygens1629-1695)第一个给出了理想摆的数学周期公式。

1678,文艺复兴时代英国物理学家罗伯特-虎克(Robert Hooke1635-1703)研究了弦的长短与频率的关系,写下了外力F与弹性k的关系表达式。

1687年,英国物理学家牛顿(Isaac Newton1642-1727)写下了力与加速度的关系方程。这成为经典力学研究物体振动运动方程分析的入手点。

瑞士的物理数学家、纯数学的奠基人欧拉则(Leonhard  Euler,  1707–1783Euler,发音oiler,约翰伯努力的学生)是第一个写出了无阻尼下质量弹簧体系受迫谐振的方程。

1713年,英国数学家、音乐爱好者、泰勒级数的发明者布鲁克泰勒(BrookTaylor,1685-1731)给出了振弦的解,给出了基频的振型和频率。

1727年,瑞士数学约翰伯努力发现了弦的振型,研究了重物作用下弦中的张力,得到了系统的固有频率是其刚度与质量之比的平方根。

1746-1747年,达朗贝尔首先建立了弦运动的微分方程并得到了一维波动方程的行波解

就这么一个简单的拨弦和其流淌出的韵律,引无数人为之倾倒。

在这一个时代,瑞士数学家欧拉和约翰伯努力的儿子丹尼尔伯努力 (Daniel Bernoulli,1700-1782)等著名学者,都加入求解上述方程的解之中,即拨动一根琴弦的解。1748年,欧拉提出了非连续导数的初值条件,从而得到了非光滑解。1753年,丹尼尔-贝努力利用动力学得到弦振动的解为一系列简单振动谐波的叠加,即为傅立叶级数解的表示。即,这个振动解包含了无限多个振动的三角函数波。遗憾的是,他没有给出如何求解系数的方法,而是后来的傅立叶(Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-1830)1807年,在研究固体中的热导问题时,给出了具体的系数求法。此后,傅立叶级数的收敛性被证明。不同频率的谐波在空气中传播的速度相同,所以听起来不会出现‘走音’色散现象。1759年,法国数学家约瑟夫拉格朗日(John-Louis Lagrange1736-1813)得到了振弦的解析解。

至此,有关弦振动的问题从数学的角度得到了较为全面清晰的解析和认识。基于二人的工作,人们认识到任何函数,都可以表示为无限多的正弦或余弦波的线性叠加。

大道殊途同归。初看起来,行波解与振动的三角函数解似乎无关,但进一步分解三角函数则得到二者是一致的。波的方程和其解给出了弦振动音乐的数学描述,三角函数级数解和行波解终于殊途同归,得到了学界广泛的认同,并在其它许多学科得到应用。科学就是这样点点滴滴汇聚而成,凝聚成了一条源远流长的河流。

所有的理论都离不开实验工作。早在1700年代,一个叫约瑟夫·索沃( Joseph Sauveur1653-1716)的法国人,经过试验给出了对应谐波的弦振动的不同模态,尽管其本人当时并不知晓。他发现,高频振动的频率是基频振动频率的整数倍,将其称之为谐波;他还发现两个乐器之间的拍频现象;以及一根弦的振动可以同时包含几个谐波的振动等,这也是听一根弦的振动依然悦耳的原因。他还命名了‘声学(acoustic)’一词。

实际上,假定一根单位长度的弦,其基频谐波就是u=sin(x)cos(ωt),二次谐波就是u=sin(2x)cos(2ωt),即一个八度音程,而三次谐波就为u=sin(3x)cos(3ωt),即是一个纯5度,如图4所示。一根弦的振动同时包含几个谐波的振动就是所谓波叠加原理的体现,丹尼尔伯努力给出了其证明。

3,一根弦的振动模态,从上到下依次为基频、二次谐波(八度)、和三次谐波(纯5度)。(Janelle K. HammondMathematics of MusicUW-L Journal of Undergraduate Research XIV (2011)UW-L Department of Mathematics

   

有关弦的振动理论和其解析解的讨论与争论在1760年代和1770年代之间曾经非常激烈。18世纪是微分方程理论和力学发展的活跃时期,法国是世界数学的中心,并保持了40多年之久,有人称之为‘理性时代(Age of Reason)’。达朗贝尔、丹尼尔-贝努力、欧拉、拉格朗日等人得到了振动微分方程的三角函数级数解,但对其数学的收敛性和周期性一直存有疑问。而拉格朗日则倾向于Taylor级数解。付立叶则对三角函数级数采用了空间与时间分离变量的方法解决了该问题,付立叶在研究固体中的导热问题时,证明了任意函数都可以展开成无限多个三角函数级数叠加的正确性。付立叶的热波方程的三角函数解理论曾经遭受批评达15年之久。他的文章投递给法国科学院,结果迟迟得不到承认和发表,后来他自己出版发行,最后终于被法国科学院承认并授予了桂冠。今天,傅立叶级数和变换方法成为许多学科的基本工具。科学的建立、传播和发扬实在不易。

低眉信手续续弹,说尽科学无限事。谁还能轻视这一根纤细柔长小小的琴弦。(待续)

 

 



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