讲座（7-4）多维指数增长方程

小资料: 多维指数增长方程的(生物学)推导(白, 2001).

讲座到现在，可能已经有博友意识到MDSM不仅是个数学模型，一个分析多元数据的新工具，甚或是我们认识了解多元世界的思想武器。一般来说，与实数（标量）比，多元向量能更全面深刻地描述我们所面对的多元世界。换句话说，较之一根数轴，R，多维空间，R^m,应该能让我们更全面更深刻地认识系统，认识世界。

前几天，用MDSM的思路，我发了篇博文《“向量和”的哲学意义》

http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=354270

唐常杰老师评:“有点哲理。”

下面，我试图用多维演替系统的多维指数增长来解释所谓的“波浪式前进，螺旋式上升”。

客观事物的发展通常采取“波浪式前进，螺旋式上升”的形式，MDSM对此的解释是：因为多元系统在不同维上突破瓶颈，呈指数增长一段，再遇瓶颈，然后在其他维上再突破，…

这个题目分两个部分：

A用经验增率表示的指数增长和多维指数增长。

B典型的理想的指数增长是S增长。综合不同维上的S增长，显示“波浪式前进，螺旋式上升”。

生物的增殖是指数增长(John Vendermeer, 1981 )：

N（t）=N(0)e^rt                                                                               (7-5-0)

为了配合本讲座其它章节，我们用系统状态Y代替种群个体数目N，用k表示时间，腾出t来用于趋势，指数增长公式被改写为：

Y_k=Y₀e^rk                                                                                              (7-5-00)

其中，Y是系统状态，下标0，k，标识时间，e是自然对数的底，r是生物的“内禀增率（intrinsic rate）”。由于内禀增率r一般是未知的，很难确定。我们把内禀增率r与e的组合(e^r)用“经验增率”l=Y_k/Y_k-1来代替，因为"经验增率"总是可以根据测定数据来计算的。而且,对特定的时间，经验增率是确定的，是随时间变化的，是时间的函数。这样，指数增长公式可以写做：

Y_k=Y₀*l^k                                                                                      （7-5）

其中，l_k=Y_k/Y_k-1, 或l₀=Y₀/Y_-1

这样，公式成为

Y_k=Y₀*(Y₀/Y_-1)^k 

也就是说，k时刻的状态是“初始状态（Y₀）”和“初始增率（l₀）”的k次幂的积。

它的前提假定是：变量保持初始的增率不变。

问题来了：那如果变了呢？

答复是：“变了再说变了的。”（见下一讲）

一维的指数增长的三个不同表达式：

       由现状、增率、时间,预报未来状态；

              Y_k=Y₀*l₀^k                          [7-5-1]

       从现状，目标，时间求可持续增长的速率。

              l_k=^kÖ(Y_k/Y₀)                      [7-5-2]

       从现状，目标，速率求所需时间。

              k=Log_l[Y_k/Y₀]                      [7-5-3]

一维指数增长和M维指数增长:

上面的指数增长方程是单下标变量，下标用来标识时间。单下标变量的指数增长方程描述的是一个物种的指数增长。为了描述多维系统的增长，我们在公式中再增加一个下标，用来标识系统的分量,则我们得到可以应用于多维演替系统的多维指数方程:

       Y_i,k=Y_i,0*T_i,0^k。i=1,2,...m                 [7-6]

新增加的的下标，i，放在第一位，标识变量。它的取值从1到M。所以公式[7-6]实际是M个指数增长方程。这M个联立的指数方程：分别描述系统的M个分量。

前面我们讲过，在超球面模型中，这M个方程通过“标准化”联系在一起(第四讲 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=276407)。

分量的经验增率l_i（例如股票增率）被系统增率（例如商高率，市场增率）调整后,称即时趋势，用T表示（见第五讲 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=352181）。

我们使用“多维即时趋势”的概念,而不用“相对增率”的概念.因为相对增率只有描述说明历史状态的意义,而趋势则有,至不久的将来,以惯性运动的意义.

我们所研究的多维演替系统在不受外力影响时,有指数增长的趋势，或者说，可以用指数增长来描述。

多维演替系统的指数增长也可以有三个不同的表达式：

       由现状、增率、时间预报未来系统状态；

              Y_i,k=Y₀*T_i,0^k                          [7-6-1]

       从现状，目标，时间求可持续增长的速率。

              T_i,k=^kÖ(Y_i,k/Y_i,0)                     [7-6-2]

       从现状，目标，速率求所需时间。

              k=Log_T[Y_i,k/Y_i,0]                      [7-6-3]

如我们前面讲过的，植被，生态环境，金融市场，国民经济都可以用多维演替系统来描述，刻画，所以（多维演替系统的）多维指数增长方程的研究和探讨，有很重要的理论意义和应用前景。