0  学过平面几何的人都能出题目自己来做，学习也就具有了研究的性质。1984年我曾整理三角形作图问题，送给刚到农村初中任教的弟弟——学生问及好有个应对。前篇博文介绍了已知三高、三中线、三角平分线以及一边之高、中线和对角平分线的作图。

此情可待成追忆：中学平面几何 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-837601.html

应行仁老师说“几何题，所用到的知识不多，妙在想对思路；一旦解出，清清楚楚无可辩驳”；李轻舟老师也说“探索性平面几何题(包括尺规作图)的思维要求并不比一些‘科研’低”。因而再给出两组三角形作图，并说几句感想。 

1  已知三角形边a和对角A，作线段BC = a和∠BCQ=∠A，作BC的垂直平分线和CQ的垂线交于点O；顶点A在以O为圆心、OC为半径的弦切圆上。

(1)  给定一边、一角以及中线m_a，容易确定三角形。

(2)  给定高h_b ，则以B为心、以h_b作圆；过C点作该圆之切线交圆O于点A

(3)  给定中线m_b ，则以B为心、m_b 为半径作圆，与直径OC的圆交于E，延长CE交圆O于A

(4)  给定角平分线t_b 不能（？）以规尺作出三角形（说明省略）。

(5)  给定t_a，ATN为角A平分线，记圆O半径为R，MN=δ，AN=η；基于三角形相似，有

δ/η = (η–t_a) /2R，(η– t_a/2)² =( t_a/2)² +2Rδ。2Rδ 等于BN平方，取 BF=FA’=t_a/2，有η = NA’ 

2   已知边a和高h_a，线段BC = a，再给一个条件可在与BC相距h_a的平行直线L上确定顶点A。

(1) 给定一边、一角以及中线m_a，容易确定点A。

(2)  给定高h_b ，则以B为心、半径h_b作圆；过C点作该圆之切线交直线L于点A

(3)  给定中线m_b ，则以B为心、以2 m_b 在直线L上截取A’；而AA’=a (两解)

(4)  给定角平分线t_b 不能（？）以规尺作出三角形

(5)  给定t_a，可如图作RtΔADT，记∠TAD=γ，有

h_a [ tan(A/2+γ) + tan(A/2–γ) ]=a ，

即sinA/(cosA+cos 2γ) = a / 2 h_a ，记为 tanφ，有

sin(A–φ) =sinφcos 2γ，可求得∠A（似乎不够简明直接，敬请高人出手）。 

3   30年前进行三角形作图时内心充满愉悦——复习过去所学并能有所收获；写作前述博文同样充满愉悦。看到应老师的评论“我初二时(1961年)自问自答一道尺规作图题：平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点，要求画一个园过这两点与这直线相切”，随即想到“连接两点、延长与直线相交，交点至两点距离乘积为切线平方，确定切点(两解)”；并说“我知道了。我在文中提及割线定理，应老师特地来'点化'。谢谢应老师啦”。内心之愉悦不说可知。

AP 为直径，DB⊥AP，切线长 PC₁ =PD

后又见到应老师说“知道割线定理后，用尺规作图来实现，只需要一个小技巧”，也就会心一笑，没有说话：直角边平方等于其投影与斜边之乘积。随即就想到另一个题目：作圆过给定一点P并与两边相切——以图示相似变换即可实现。

这些该是中学数学教师的功课。我曾就岩石强度准则做过类似功课，最终写成  Comparison of the accuracy of some conventional triaxial strength criteria for intact rock. Inter J Rock Mech Min Sci，2011，48：852–863. 相关工作主要是增进自己的学术素养，尽管也提出单参数的正则抛物线准则和三参数的指数准则。

4   今年6月27日到复旦大学参加女儿的博士毕业典礼；听致词的一位同学说“复旦以自由和无用为灵魂”，颇有感触。我们确实过于功利——关心经费、关心项目、关心论文；许多人说研究的艰辛，说写作的困难，说发表的烦恼；而叙说读书、授课、写作之愉悦的却很少很少。

也许业绩考核使部分教师受压变形。学校制定的政策并不合情合理，可大家只能被动应付。就我所知，为了完成学校规定的业绩，少数同仁不得以申报没有新意的专利、发表没有读者的论文，内心充满苦痛而难以排解。

我曾多次说过，“我希望愉快地做一名正直的教师。因而，对于偏离正道的诱惑，抵御于内；对于偏离正道的逼迫，抗争于外”。当然，这并不容易，需要付出代价。

5   上周末回母校参加毕业30年聚会，大家叙说别后情形。我说，除了头发白了些，自己与30年前一样，没有什么变化呢。同学们竟认可我的说辞，有人说“社会变化啦，你不变怎行”。

许多同学知道我与勾攀峰先生的争执，关切之情溢于言表。还好，事情恰巧了结。ZWD同学以兄长的口吻个别“教训”我有二十分钟之久，说“以后一定不允许这样”。不过，CW同学在餐桌上所问“你这么干为什么？对你有什么好处”，使我略有些为难。我只得挺直腰、抬起头，说“不为什么。只是这样的事情总得有人去做啊。做成之后别有一种愉悦呢”。

6   我想，与30年前相比，现在的生活条件、工作环境已极大改善，需要的只是心态良好而已。也许，我们真该以“自由而无用的灵魂”，享受“阅读及写作的愉悦”。