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数学和物理及力学:以抛物线壁面支承细杆为例 精选

已有 1600 次阅读 2017-12-14 17:24 |个人分类:力学科普|系统分类:科普集锦|关键词:抛物线,摩擦,稳定平衡

0   如果不考虑摩擦,则两端支承于壁面的细杆在重心高度达到极小值时稳定平衡。抛物线是距焦点P和准线的距离相等的点轨迹。细杆AB只要长度L大于2p就可以通过焦点;中点M距准线的距离为 (PA+PB)/2因三角形两边之和PA+PB大于第三边L知道细杆通过焦点时重心最低,也就是稳定的平衡位置,而水平放置是不稳定平衡杆长小于2p则只能在焦点下方的水平位置平衡。细杆重心的稳定平衡集在焦点处杈式分岔,为焦距p/2 的抛物线。该问题的极坐标下分析是高中数学的内容。


壁面总是具有摩擦的。摩擦阻碍相对运动,是一个被动因素,作为支承反力而具有不确定性;通常所说摩擦力等于正压力乘以摩擦因子是滑移时才能达到以下分析设细杆右侧A 不低于左侧B,且抛物线焦距p1,即长度参数均以p无量纲化。

1   在自身重力作用下细杆有三种滑动情形:焦点下方的顺时针运动①,即B点向下而A点向上;焦点上方的逆时针运动②;两端同时下滑后者低端B处法线在细杆的下方,因而细杆与法线一致即垂直壁面是相应区域的边界H

具体给出长度L=8细杆的位置。其通过焦点时倾角θ0为60o倾角为θH=15.65o以及56.90o时低端B垂直于壁面,而右端A则达到最高和最低点,两者之间即区域③内细杆低端与下方壁面的夹角大于90o,即使摩擦平衡,扰动也可使其失去支承而滑脱。


不同长度细杆的中点轨迹和运动方式以及无摩擦时平衡集。杆长小于Lh=3*sqrt(3)时,则不存在整体向下即两端同时下滑的可能。

2    摩擦力达到摩擦锥的边界是平衡的临界状态。设摩擦因子μ=tanφφ为摩擦角,则基于抛物线的法线可以确定细杆两端的摩擦锥左、右界斜率;对前述三种运动趋势,可以分别确定相应的细杆倾角θ1θ2θ3。摩擦角φ为30o和15o时,不同细杆长度的计算结果在下图给出。细杆无摩擦时稳定平衡的倾角θ0以及整体下滑区域边界的倾角θH,也在图中绘出。

细杆在θ2θHθ3之间的区域,不能依靠摩擦而避免两端同时下滑;不过,若先放置低端B并阻止滑动后再放置高端A (实际操作时可稍稍下压),细杆也可在A端向下、B端向上的摩擦作用下平衡,因而称为半平衡;但扰动之后下端就会失去支承,即摩擦平衡是不稳定的。

不同平衡状态的细杆中点轨迹在下面给出,相关符号的含义与上图同。各种极限状态的讨论参见论文。


抛物线壁面光滑时细杆中心的平衡集在焦点处发生杈式分叉,而摩擦使“杈”具有了宽度;杆长、倾角和摩擦系数不同,细杆可具有不平衡、稳定或不稳定的平衡和摩擦平衡等多种状态。

3  辞海》2000版缩印本 570页的条目:“力学 物理学的一个部门。研究宏观物体机械运动规律及其应用的学科”;而2010年版彩图本1352页 则删除红色文字,在“学科”前添加“一门”二字。这样的解释似不够准确。笔者给出如下定义和解释http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-747329.html

力学以物理为基础、以数学为工具,研究物体的受力与运动、变形和破坏之间的关系,以及电、光和热等因素对该关系的影响。力学具有科学和技术的双重特征,是独立于数学和物理的一级学科,已成为天文、地质、机械、建筑、水利等众多学科的基础。

力学问题明确而具体,物理原理清晰而简单,数学计算复杂而烦难。

尤明庆. 抛物线壁内细杆的摩擦平衡分析.力学与实践, 2017, 39(4): 359-364.

尤明庆. 均匀细杆在光滑圆锥曲线壁内的稳定平衡分析. 力学与实践, 2016, 38(2):186-188



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