最近，我经常在思考时间箭头与物理学方程的关系。

在我们知道的物理方程中，除了热力学有不可逆过程，别的描述物理规律的微分方程中，时间似乎都是可逆的。

仔细想来，对于大多数物理方程的求解往往都是考虑理想情况下的单个粒子的运动。对于两体运动，我们尚能求解；可是对多体运动，我们几乎无法精确求解。人类的数学能力也不过如此。

以单摆的简谐运动为例：F = d²x/dt² = -kx,  我们可以得到一个周期运动的数学解： x = Acos(wt) （因为这是博客文章，为了通俗化，我不进行严格说明）。在这个方程中以及精确解中，时间变量t 的确可取正值或者负值。

然而在实际情况，单摆的运动受到空气阻力，摆动幅度随时间减少。为了描述这个物理过程，可以在简谐运动方程的右边加上一项与速度相正比的阻尼项：-bv。于是，有阻尼项的单摆运动的精确解中，摆动幅度多了一项随时间减少的指数项：exp(-at), （常数a 与b 有关）。注意：在这个精确解中，时间变量t只能取正值。反之，如果取负值，摆动幅度将越来越大，与事实不符。也就是说，有阻尼项的单摆运动方程：

F = -kx –bv，体现了时间箭头。

有一个著名的故事：在2000年前，阿基米德在浴缸里想到了浮力定理，跳出浴缸，大叫：Eureka !  (我发现啦）。

我现在也想大叫：Eureka !  我发现了与时间箭头相关的物理学方程啦。

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