量子论建立之初，也就是普朗克提出能量子概念的时候（1900），完全没有描述量子的数学公式。但是量子化假定解决了黑体辐射的紫外灾难问题。玻尔的原子模型仍然是唯象地假定了能级分立（1913）。德布罗意提出物质波理论之后（1923），才有了海森堡、波恩等的矩阵力学和薛定谔的波动力学（1925）。

薛定谔方程的来源，按照费曼的说法，“是薛定谔瞎想出来的”（It is not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.）

有一个流传广泛，但是找不到来源的说法是，假定波函数为平面波，分别对时间和空间部分微分得到能量和动量，然后把能量变换为动能加势能，从而得到薛定谔方程。读者可以自行查找推导。

为了方便，我们写下一维定态薛定谔方程：

扩散方程的物理图像是很清楚的，比如热扩散，一个介质中一旦出现热源，热就会扩散到整个介质。

但我们知道，一般定态薛定谔方程的解是一个固定的几率分布，没有扩散。而含时薛定谔方程很少用到，即使用到，我们一般也用绝热近似，也就是当成定态薛定谔方程来解。我们可以把定态薛定谔方程当成含时薛定谔方程的特殊形式。

而虚扩散系数意味着什么呢？在一个二次微分方程中出现虚的系数，一般意味着波动。

综合以上两点，我们可以认为，薛定谔方程是波的扩散方程。扩散速度是多少呢？考虑到虚的扩散系数已经被我们解释过了，其值就没有意义了。最后解出来的波函数是什么呢？由于它的分布不变，可以认为它是波经过充分扩散后达到的最后状态。薛定谔方程的非相对论性，意味着作用传播速度为无穷大，即充分扩散不需要时间。

所以，可以认为，薛定谔方程的解，是波经过充分扩散后达到的最后稳定状态。初始的波是什么呢？可以认为是所有频率的波。

我们知道，波的扩散，或者说传播，有个性质，就是会发生相干。相干有利会加强，不利会相消。如果经过充分扩散，就只会剩下满足相干有利条件的波。

所以，薛定谔方程的解，就是该体系下，所有相干有利波的集合，也就是各本征态，或者说，优势振动模式。它们一定反应了该体系的全部空间性质，比如需要满足什么边界条件，势场的性质，等。

注意，我们在猜测薛定谔方程的物理意义，以上论述是一种推测，不是证明。

但是，即使我们完全放弃上面的论述，薛定谔方程的解是反应了全部空间和势场性质——即全局性质——的本征波动解的结论，仍然有效。波动性由薛定谔波函数定义提供，也可以说，来自于物质波定义。以上推测和类比，只是为了更直观地理解薛定谔方程的物理意义。

由于矩阵力学和波动力学的等效性，因此也可以推断，所有的量子态都是全局态，都是非相对论的，都有无穷快的作用传播速度。但这些只是理论隐含的数学性质，不是看作实际的物理性质。

我们还要注意到，以上论述都是指是理想状态下。所有的解都分布在全空间（除非无限深势阱，而实际不存在无限深势阱）。

综上所述，我们可以归纳为：薛定谔方程的解，是一个波动体系（物质波）的，理想的，全局（全域）的，非相对论的，本征解集合。

由于薛定谔方程是描述量子的方程，所以以上性质也是该理论框架下，量子的性质。也就是说，量子力学描述的每一个量子，都是物质波的，理想的，全局的，非相对论的，本征态集合。

作为参考，我们可以比较一下一般情况下含时微分方程的解法。一般的含时微分方程，我们一般需要一个初函数，对应的边界条件，解出来的是一个随时间变化的方程集。一般情况下，可以解析解的实际系统几乎没有，所以我们都是用数值方法解微分方程，比如一般的流体，等离子体，电磁场，等等。我们同样需要系统的初态，边界条件，时间前向步进，计算出系统随时间演化的各种性质。但是我们几乎不用数值方法解薛定谔方程。因为物理上，要解的问题就不是初值问题。而微分方程的本征值问题，数值方法很不可靠。实际上，量子力学的本征值问题一般用矩阵方法。

原则上来说，计算实际的量子体系，薛定谔方程解任何一个粒子或者多个粒子的行为，都要求全宇宙的状态已知，因为全宇宙状态都是势场的一部分。如果把粒子的全同性考虑进来，一个非相对论，多体，的真实体系是无法计算的。

量子不等于粒子，实际上，无论是薛定谔方程，还是矩阵力学，量子跟粒子都没有直接关系。粒子是涉及测量时需要回答的问题。

由于上一节讨论过的，真实物理体系的复杂性，因此也可以说，薛定谔方程的解是一个非相对论理想极限。