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薛定谔方程的物理意义(全局诠释之五)

已有 8221 次阅读 2020-8-22 19:15 |个人分类:量子力学|系统分类:论文交流| 量子力学, 薛定谔方程

量子论建立之初,也就是普朗克提出能量子概念的时候(1900),完全没有描述量子的数学公式。但是量子化假定解决了黑体辐射的紫外灾难问题。玻尔的原子模型仍然是唯象地假定了能级分立(1913)。德布罗意提出物质波理论之后(1923),才有了海森堡、波恩等的矩阵力学和薛定谔的波动力学(1925)。

薛定谔方程的来源,按照费曼的说法,“是薛定谔瞎想出来的”(It is not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.)

有一个流传广泛,但是找不到来源的说法是,假定波函数为平面波,分别对时间和空间部分微分得到能量和动量,然后把能量变换为动能加势能,从而得到薛定谔方程。读者可以自行查找推导。

为了方便,我们写下一维定态薛定谔方程:

image.png

扩散方程的物理图像是很清楚的,比如热扩散,一个介质中一旦出现热源,热就会扩散到整个介质。

但我们知道,一般定态薛定谔方程的解是一个固定的几率分布,没有扩散。而含时薛定谔方程很少用到,即使用到,我们一般也用绝热近似,也就是当成定态薛定谔方程来解。我们可以把定态薛定谔方程当成含时薛定谔方程的特殊形式。

而虚扩散系数意味着什么呢?在一个二次微分方程中出现虚的系数,一般意味着波动。

综合以上两点,我们可以认为,薛定谔方程是波的扩散方程。扩散速度是多少呢?考虑到虚的扩散系数已经被我们解释过了,其值就没有意义了。最后解出来的波函数是什么呢?由于它的分布不变,可以认为它是波经过充分扩散后达到的最后状态。薛定谔方程的非相对论性,意味着作用传播速度为无穷大,即充分扩散不需要时间。

所以,可以认为,薛定谔方程的解,是波经过充分扩散后达到的最后稳定状态。初始的波是什么呢?可以认为是所有频率的波。

我们知道,波的扩散,或者说传播,有个性质,就是会发生相干。相干有利会加强,不利会相消。如果经过充分扩散,就只会剩下满足相干有利条件的波。

所以,薛定谔方程的解,就是该体系下,所有相干有利波的集合,也就是各本征态,或者说,优势振动模式。它们一定反应了该体系的全部空间性质,比如需要满足什么边界条件,势场的性质,等。

注意,我们在猜测薛定谔方程的物理意义,以上论述是一种推测,不是证明。

但是,即使我们完全放弃上面的论述,薛定谔方程的解是反应了全部空间和势场性质——即全局性质——的本征波动解的结论,仍然有效。波动性由薛定谔波函数定义提供,也可以说,来自于物质波定义。以上推测和类比,只是为了更直观地理解薛定谔方程的物理意义。

由于矩阵力学和波动力学的等效性,因此也可以推断,所有的量子态都是全局态,都是非相对论的,都有无穷快的作用传播速度。但这些只是理论隐含的数学性质,不是看作实际的物理性质。

我们还要注意到,以上论述都是指是理想状态下。所有的解都分布在全空间(除非无限深势阱,而实际不存在无限深势阱)。

综上所述,我们可以归纳为:薛定谔方程的解,是一个波动体系(物质波)的,理想的,全局(全域)的,非相对论的,本征解集合。

由于薛定谔方程是描述量子的方程,所以以上性质也是该理论框架下,量子的性质。也就是说,量子力学描述的每一个量子,都是物质波的,理想的,全局的,非相对论的,本征态集合。

作为参考,我们可以比较一下一般情况下含时微分方程的解法。一般的含时微分方程,我们一般需要一个初函数,对应的边界条件,解出来的是一个随时间变化的方程集。一般情况下,可以解析解的实际系统几乎没有,所以我们都是用数值方法解微分方程,比如一般的流体,等离子体,电磁场,等等。我们同样需要系统的初态,边界条件,时间前向步进,计算出系统随时间演化的各种性质。但是我们几乎不用数值方法解薛定谔方程。因为物理上,要解的问题就不是初值问题。而微分方程的本征值问题,数值方法很不可靠。实际上,量子力学的本征值问题一般用矩阵方法。

原则上来说,计算实际的量子体系,薛定谔方程解任何一个粒子或者多个粒子的行为,都要求全宇宙的状态已知,因为全宇宙状态都是势场的一部分。如果把粒子的全同性考虑进来,一个非相对论,多体,的真实体系是无法计算的。

量子不等于粒子,实际上,无论是薛定谔方程,还是矩阵力学,量子跟粒子都没有直接关系。粒子是涉及测量时需要回答的问题。

由于上一节讨论过的,真实物理体系的复杂性,因此也可以说,薛定谔方程的解是一个非相对论理想极限




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