【科普系列之六】

网络三字经与小世界网络

在新世纪之交,首先，从复杂网络的角度，重新发现了小世界网络。1998年6月，当时在美国康奈尔大学理论与应用力学系博士研究生的瓦茨与他的导师斯特罗迦茨教授提出一个小世界网络模型，简称WS模型，他们在英国著名的《自然（Nature）》杂志上发表了题为“‘小世界’网络的集体动力学”的文章，引起了广泛的兴趣。

凡是能够引发国内外广泛兴趣和关注的发现一定是隐藏在自然界和社会里的普遍存在的现象。那么，究竟什么是小世界网络或称小世界现象？在下面网络《三字经》里概括得很清楚了。其实，小世界现象到处可见，当你们去全国或世界各地参观、旅游、参加各种活动和会议的时候，经常遇到一些新朋友，你与他交谈时，你会很快发现：他认识你的朋友，你认识他的“朋友的朋友”，于是双方不约而同的脱口而出：“这个世界真小啊！”这就是小世界现象。

对社会人际关系网来说，每个人就是网络图中的一个节点，人与人之间的关系，不管认识或不认识，就构成网络图中节点之间的连线。人类社会中的各种社团组织或社会网络，小到家庭、朋友圈、公司、学校，大如党派、政府、国家，都是人际关系网的具体社会体现。

早在20世纪60年代美国社会学家米尔格来姆，首先作了所谓“六度分离”的通信实验，该实验发现将近有1 /4的信最终送达了目标人，统计这些成功送达的信件的传递次数后,米尔格来姆发现其平均传递次数是5.5次,由此提出了“六度分离”假设。米尔格来姆通过社会调查得到的有趣的结果表明：在美国社会（世界上）任何两个陌生人，不论在天涯海角，不管职位高低，富贵或贫贱，不管在哪个国家，属哪类人种，哪种肤色，他们两人之间只要想相互认识，只要经过5-6个“朋友的朋友”中介就可以实现，也称网络的最小路径距离长度为六。这是巨大的人际关系网普遍存在的现象。

由上述实验可推断:社会网络具有小世界性,几乎任意两人(结点)之间都存在一条连通的短路径,而且人们可以通过各自的朋友来找到这条短路径，也称可导航性. 随后人们只关注了这条短路径存在性问题的研究。波洛巴斯（Bollobás）等人提出了一个定理:基本上随机网络模型几乎都可以产生大量的丰富的短路径,并且给出了一个判断小世界特性的“黄金准则”,即所谓的小世界网络,通常是指规模为n的网络中几乎所有结点对都存在长度为n的对数多项式的路径。这是“可导航性”的判据。

随着计算机通信技术的进步，互联网的发展，有了各种虚拟世界的人际社交网。哥伦比亚大学瓦茨课题组应用互联网成功进行了通信试验，同样证明了小世界现象体现在六度分离（隔），为了描述这种人际社交关系网，网上流传一部新三字经：

大社会，小世界。

强作用，弱纽带。

物聚类，人分群。

六度隔，远朋来。

名流士，多宾客。

孤僻人，少往来。

勤社交，扩人脉。

地球村，温暖在。

小世界现象渊源已久，到处可见。其实，在唐诗、文学到戏剧等日常生活中，古今中外，男女老少，小世界的体验概不例外。

一千多年前我国唐朝著名诗人王勃写的脍炙人口的诗篇《杜少府之任蜀州》，可以说，全国甚至全世界都是家喻户晓，全诗是：

送杜少府之任蜀州

[王勃]

城阙辅三秦，风烟望五津。

与君离别意，同是宦游人。

海内存知已，天涯若比邻。

无为在歧路，儿女共沾巾。

这首诗是王勃青年时期所作的一首送别诗，上面一名句“海内存知已,天涯若比邻”，大家仔细评味，诗里已经从人文和哲学上反映了“天涯若比邻”这一小世界现象，表达了小世界的基本特征就是“若比邻”，表现出一种乐观旷达的胸怀，而使本诗成为高标千古的名篇。这是王勃一首赠别的名作。他在这首诗中，没有一般习见的低沉、伤感的情绪，而是充满一种有所作为的进取精神，表现了朋友之间以事业为重的美好情操。但写来却又那么情深意挚，荡气回扬，感人肺腑，催人奋发。其中五六两句，以激扬奋励的笔调，写出了千古绝唱：“海内存知己，天涯若比邻。”这心胸是何等的开阔、健朗！它把人们送别的情谊，升华到了一个新的境界，一扫离别时的惆怅和哀伤。这五方律诗，笔力矫健，格调高昂，气象壮阔。最后以劝慰友人作结。第二联用了散调承接，使全诗韵律显得更为流动飘逸。

特别是，诗人那种“若比邻”的小世界感觉，与现在互联网通信恰如“地球村”的感觉何其相似,说明我国自古以来就有 “天涯若比邻”的小世界美妙而惊奇的体验，这个先知先觉，虽然不像科学预言，也缺乏科学实验，但是却发现了一个伟大的哲理！凭着大家亲身体验，它却生动而深刻地包含和体现了我国人民的远见、聪明和睿智

那么，国外怎么样？根据无尺度网络发现者——巴拉巴西介绍，小世界现象与“六度分离”是一曲同工之处。早在匈牙利公认的文学天才作家——凯伦斯1929年出版的《万物有特》书里收入了52篇短篇小说，其中有一篇题目为《链条》，有一段描述值得一提：“为了证明当今世界上人之间关系的密切，这伙人中的一个成员建议搞个试验。他下了赌注(搏)，说我们从世界上的几十亿人当中可以随便说出一个人，这人只要最多说5个相互认识人的名字，就能和指定的人拉上关系。”凯伦斯小说里的人确实做到了。他首先把一个诺贝尔得主和自己联系上了。他指出该诺贝尔奖获得者肯定认识瑞典的国王古斯塔夫，因为国王负责诺贝尔奖颁奖，而国王又喜欢打网球，经常与网络球冠军切磋球艺，而这位网球冠军恰好认识凯伦斯小说里的人物。因此，小说里的这个人与说的名人（诺贝尔奖得主）便很容易拉上关系了。其实，这个小说一直没有引起世人的关注，经过匈牙利美籍网络科学家巴拉巴西这么一宣传，凯伦斯在他的书里关于人与人之间最多需要5层关系联系起来的说法，就被他挖掘出来了，这与现在所说的“六度分离（分隔）”理论倒是不谋而合，也值得大家钦佩啊

另外，还可以追溯戏剧的起源。据说,过去15年研究米尔格来姆的生平和作品的美国社会心理学家托马斯﹒布拉格(Thomas Blass)却爆出新料:米尔格来姆本人从未提出过“六度分离”的说法。并指出：这个说法是约翰﹒格尔在1991年的杰出戏剧节目里首先使用的。该戏剧在百老汇演出非常成功，随后又拍出同名电影。在戏剧里，欧萨提起人们之间的相互关系，对他的女儿开玩笑地说：“在这个星球上，每个人中隔着6人，即六度分隔。在这个星球上，我们和其他每个人之间就只有六度分隔。美国总统，维尼斯的贡多拉船夫……, 不仅仅是大人物，所有的人都算在内。包括雨临里的土著，火地岛上的居民，恩斯基摩人。只需6个人，我就能够和这个恒星上的任何人拉上关系。这个思想真是了不起啊 ….. 为每个人打开了向另外世界的窗户。”

究竟从网络科学怎么描述小世界现象?

首先，小世界网络模型描述了完全规则网络和完全随机网络之间的转变过程，有三种不同连接方式的网络类型，如图1所示：（1）完全规则网络，如中国象棋、铁路交通网等，网络中节点之间是按规则方式连接；（2）混合网络——规则与随机相混合链接的网络；（3）完全随机网络。小世界（SW）模型基本点是，只要在规则网络（1）中对于一些的“远亲”节点进行随机连接，就变成（2）混合网络类型，并自然出现了小世界网络特性，具有小的最短路径长度L和比较大的群聚系数C。因此，我们可以通过调节一个参数（链接边数）即可实现从规则网络向随机网络过渡，（2）模型就是瓦茨和斯特罗迦茨提出的WS小世界模型。

   上述小世界二个基本特性可以如下理解：前者L表示两个陌生人要成为朋友需要经过几个中介（“朋友的朋友”）介绍才能实现,即把最终2个节点(朋友)连接起来所需要的最少的连接“边数”或“朋友”数目就是最短路径长度L。迄今有多种算法能精确计算任何一个复杂网络的平均最短路径长度L。

  总之，网络节点的平均最短路径长度L实际上是定量反映他们之间的“亲密的程度”的一种物理量，而群聚系数C则是表示网络圈子里的人“抱团”程度，C越大，抱团越紧，表明你是“朋友的朋友”的几率越高。在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很

图1小世界网络模型及其提出者

“遥远”的人，其实与你“很近”。（L小,C大）作为描述是小世界网络或小世界现象的数学物理特征。除了社会人际网外，这种小世界特性广泛存在于生物学、物理学、计算机科学等领域网络里，万维网、公路交通网、脑神经网络和基因网络都呈现小世界特征。小世界特性的好处是，在小世界网络里一般说来其信息传递速度快，只要少量改变几个连接，就可剧烈地改变网络的性能，如蜂窝电话网，改动很少几条线路，就能显著提高通信性能。不过，有的情况也不尽如此，具体情况还要具体分析。小世界网络的生成不仅仅是WS模型，可以有多种产生小世界的模型、方法和机制。例如，2005年原子能院网络小组也提出了另外一种保持“网络度不变的小世界模型”，和WS小世界模型不同的是，该模型在演化中保持网络中每个节点的度不变，称之为度不变模型。做法就是在上面环形规则网络上,把节点每次断边(线)，但是保持节点原来的度不变（SAV）。为此，设计了两种演化算法，分别称为点遍历算法(SAV)和边遍历算法(SAB)， 两种算法的区别在于节点演化的方式不同。小世界网络特性的特点是，平均最短路径长度随连接概率增加而减小，而平均群聚系数则随连接概率增加而增大。

大量研究表明产生小世界的机理具有多样性，反映了客观世界多么丰富多彩，体现了客观世界具有多样性和复杂性。在现实生活中，我们都和地球上某个遥远地方的朋友有所联系。 除了邻居之外，还有相距较远的朋友。假如我想和曾经访问过的美国得克萨斯州某朋友的联系路径，显然我无法也无须挨家挨户敲门，因为即使我早晚也会敲到太平洋那边去而无路可走。我们可能会记得我大学时最好的朋友几年前移居悉尼了。这样一来，我们就可以先联系这个朋友，然后由他再找到需要找的那个美国人，毕竟他在那里的交际圈也是不断扩大的。一个能反映当今社会实情的比较现实的模型，就应该允许远距离链接的存在。在上面谈到的WS模型中，只需添加几个随机链接，就得到了所需的结果。也就是说，只需在圆圈上选择任意两个节点，并用新的链接将其连起来即可。这样就把所选节点之间的距离降到了1，而且他们各自紧邻的节点之间距离也大大缩短了。进一步添加多个这样的随机链接，就能把所有的节点的距离拉近了。大家想一想：瓦茨-斯特罗迦茨（WS）模型和爱多士-彼得(ER)模型的两个世界观并非是不可调和的。如果假设从规则网络的结构出发，它也的确允许群聚的存在。但是从多个角度上讲，其最基本的原理，仍紧紧与爱多士-彼得的观点相吻合。毕竟，虽然刚开始我们是把节点安排在一个圆圈上，但是链接它们的时候，却完全是随机的。这样一来，两个模型从深层上表现的都是平等主义的社会，其链接都是随机的。  

总之，小世界现象无处不在，特点是同时具有大的群聚系数C和最短期路径距离L.在许多真实网络中小世界效应得到了验证,例如在计算机互联网、万维网、食物链网络、电力网络、好莱坞的演员关系网、科学家合作网络等等都有类似的表现。小世界效应如此普遍性,具有非常重要的现实意义，特别是对于交通运输、信息传输等选择沿着最短路径距离长度，则可以获得最快的传递速度。