【科普系列之五】

咖啡屋的定理与随机网络世界

——略介21世纪的欧拉

欧拉开创网络第一个里程碑两个世纪后，科学界才开始从研究不同网络图形的属性转到探索网络图的生成原因（机制）问题，即网络生成的是什么机制？怎么控制网络的外观和结构？直到20世纪50年代末，两个匈牙利的数学家保罗•爱多士和雷尼·彼得提出独特的见解，他们认为，自然界和人类社会是一个随机世界，并于1959年代提出了随机图理论，对网络（图论）做出了革命性的贡献，堪称诞生了网络（图论）发展的第二个里程碑。他们关于随机图理论模型与方法在国际上沿用和占据了长达40年之久，他们成为随机世界的探索者、开拓者和缔造者。在历史上，他俩首先探讨和理解了人们所处的自然界和人类社会网络形成的物理机理是什么？他们的研究结果为解答随机网络世界的理论奠定了基础。一直到1998和1999年分别发现小世界网络和无标度网络才被突破了。可见随机图理论的影响之广泛和深刻。保罗•爱多士是迄今发表论文最多的数学家，曾和511人合写科学论文，论文多达1475，堪称世界数学史上一位伟大的离散数学家，他于1984年获得沃尔夫数学奖。为此，保罗•爱多士被誉为21世纪的欧拉。

前面讨论的欧拉图论是确定性世界的规则图论（网络）. 那么随机世界是什么意思呢？我们来简单讨论随机网络世界的“随机图理论”,这个理论是指由随机过程产生的网络图。例如，如果将一些纽扣散落在地上，并且不断随机地将两个纽扣之间系上一条线，这样就得到一个随机图。连边的产生可依赖于不同的随机方式，这样就产生了不同的随机图模型。他们的研究成果揭开了随机网络世界的一些奥妙。

人们一直在试图解快网络的谜底，他们的精致随机图理论对我们寻找网络的机制提供了一种新思路，对网络研究产生了广泛的影响。我们来看看下面的例子。

如果在酒店组织一个聚会，邀请开始互不认识的100人参加，由于人类具有天生的交往的渴望，所以他们之间就会自然开始相互交谈，不可避免会自然进行“派对”，出现某种自组织行为。如果告诉一个客人一个秘密，许多酒里只有一瓶没有标签的茅台酒，要求这个客人只能告诉新认识的人这一消息。否则，茅台酒会很快被一抢而空。假设每个人都把消息传递给他认识的人，那么在“派对”结束时，是否每个人都知道茅台酒的消息呢？如果每个人都要相互认识的话，那么每个人就都知道去取没有标签的茅台酒喝一点。但是，即便是每个人寒暄5分钟，见到99个客人也要8个小时，通常聚会很少持续这么长时间。因此，把茅台酒的秘密告诉自己的朋友也毫无关系，即使到了聚会“派对”结束时，茅台酒肯定还有剩余的。

但是，爱多士与彼得不同意上述观点。他们按照自己的随机世界的“派对”（即连边）规则，用他们的话说“数学家能够从咖啡店（酒店）里喝出定理来。”。那么结果是被喝出了一条经常为人引用的定理：每个人至少认识另外一个客人，很快大家就都知道去喝茅台酒了。根据他们的观点，每个人都有差不多同等的机会，因此只需要半小时就形成涵盖所有客人的无形的社会网络。也就是说，一个客人在几分钟前刚听说了茅台酒的事情，不一会再去取的时候就会发现茅台酒已经空空如也了。

上述随机性与射击打靶和掷硬币的实验都有类似之处，如果每次射击都重复完全相同的条件，那么每次射击都能击中靶心。但是，实际的操作并非如此，不论如何进行事前的技术上的调整，结果并不是每次射击都能击中靶心，而是由这些命中点组成了以靶心为中心的图形。人们其实无法在技术上使每次射击都丝毫不差地重复同一条件，而且，人们已经知道，如果通过观察现象来概括，甚至那些确保我们准确地命中靶心的运动定律也是关于命中点图形的统计性定律。

作掷硬币实验也类似，硬币的运动像子弹射向靶心一样遵循同样的力学定律。在这个实验中，初始条件就是掷硬币的方法，结果则是正面或反面向上的频数。每次掷硬币的初始条件无论怎样作技术上的改进，都无法确定硬币落到桌子上是正面还是反面向上。但是，随着掷的次数增多，就可以逐渐看出，其结果正面与反面的数目几乎相等。在掷硬币实验中，初始条件无法用少数的变量来描述，硬币在空中受到无数个具有种种不规则速度的空气粒子碰撞，致使人们无法确定状态变数在某一时刻的数值，而只能预测某一平均行为。观察的结果只是硬币落到桌子上究竟是正面还是反面向上，并用一个频数1／2来描述这个结果，如果掷一个立方形的掷骰子，当掷的次数非常多的时候，我们可用l／6这个频数来描述。这种类型的定律都称为统计性定律。统计性定律所给出的掷硬币的结果肯定是：无论怎样改变掷硬币的初始条件，都不可能改变所预测的频数。

以上两种不同结果反映了随机图的基本思想方法，具有统计平均的效果。随机图得到的是比较均匀的分布，所谓“泊松”分布，特点是具有钟形分布形式，大部分分布都集中在中间平均值附近，少数分布在两边。这种“泊松”分布带有平等和自由的色彩，被认为是随时网络世界的重要含义和特点。

科学家的最终目的是，寻找到非常复杂现象的背后的原因，希望能够最简单明白地解释网络的产生机理或内在规律。爱多士-彼得提出的随机图理论是一个精致的数学解答，利用一个单一的结构描述复杂的网络图。不同的系统遵守各自完全不同的规则来建立网络，他们故意忽略它们之间的差异性，获得了自然界所能提供的最简单的解答：随机连接节点。他们得出结论是，网络图所代表的世界从根本上讲是随机世界。

爱多士有一句明言：“数学家是一将咖啡变成定理的机器：”咖啡屋对于爱多士来说，一杯浓咖啡的强的刺激对于他帮助非凡。在布达佩斯、布拉格与巴黎的数学家常去一些咖啡屋，爱多士当然是常客。他是体会一将“咖啡变成定理的机器”的最大收益者和体会者。现在愈来愈多的数学论文变成两个、三个更多个合作者的共同成果：数学方式上的这种根本性变革是有多原因促成的，但是爱多士起到了榜样的重要作用。

和欧拉有点类似，爱多士一生充满传奇，命运坎坷，屡受挫折。他身为犹太人，遭到纳粹的迫害，被美国麦卡锡主义者赶出美国，不得不逃亡国外。爱多士被迫害离开美国后，从此终生漂泊,浪迹天涯，成为一个“三无”的奇人：没有结婚成家，没有固定职业，没有固定住所。可以说，他完全是为数学而生,为数学而死,把一身献给了数学科学事业。

爱多士常说，生命的意义就是要去证明，要去猜想，证明与猜想是数学家阐明纯粹柏拉图世界的工具，并说：“如果数不美，我真不知道还有什么更美的东西。”尽管他也像所有数学家一样，被迫在世间建造一个住所，但他拒绝了世俗的拖累。他在地球上没有一个可以称之为他的家的地方。没有一个正常的9点上班5点下班的囤定工作，也没有通常意义上的家庭。他只按一个目标来安排他的生活，那就是每天用尽量多的时间来从事重大的、他终生认定的事业：证明与猜想：对于爱多士来说，消耗了他绝大部分醒着的时间的数学不是一个孤立的追求，而是一项社会活动，一个不定期的节日。

20世纪的伟大数学发现之一就是这样一个简单的方程式，即两个脑袋总比一个强。自从阿基米德在沙盘上画圆以来，绝大多数数学家都是独自搞研究的——直到某些普通人物认识到任何地方都可以做数学。仅仅只要纸与笔就足够了，而这些也不是严格地不可缺少的。必要时有一张桌布就行，数学家们还可以像棋手下棋那样研究在脑子里进行方程运算。