"网络科学与统计物理方法"一书：绪 论

从科学发展史看,数个世纪以来, 物理学在无穷大和无穷小的领域留下了浩似烟海和犹如满天繁星般的灿烂辉煌。一直到了20世纪后半期和本世纪初，两大领域的实质性进展逐渐缓慢下来，而引人瞩目的非线性科学、复杂性科学和网络科学作为新兴科学陆续兴起， 开辟了崭新的天地, 这是一个介于无穷大和无穷小之间并相互交叉的非常广阔领域，它与宏观尺度的世界有着密切的关系。 新兴科学的发展之迅猛, 内涵之新颖, 愈来愈激动人心，越来越吸引人们关注前沿课题。今天, 非线性、 复杂性、复杂网络、混沌等名词已成为现代众多学科, 特别是交叉科学的关键词和常用术语。在千禧之交，在复杂性科学和互联网技术革命中诞生的网络科学[R. Albert and A-L Barabási, 2002]，立即从物理学、数学、计算机科学到生命科学及工程技术领域，开拓到社会科学、管理学、甚至经济学、医学以及艺术等众多不同的学科，近十年来，引起了各国科学界和政府的广泛重视和高度关注。网络科学理论的突破性进展，不仅发现了一些引人瞩目的崭新结果（小世界效应、无标度特性、可导航网络、模块性、层次性等），而且为各种领域研究提供了新思想、新方法和新途径，自然成为探索新的交叉科学的广阔平台和复杂系统的有力武器。

不同于一般的“图论”，现代复杂网络具有许多新的特点，最关心的科学问题之一是复杂性及其产生机制。究竟什么是复杂性呢？迄今, 国内外还是难以准确回答的在个问题，因为复杂系统和复杂性科学的定义目前尚无一个统一和共认的科学表述，在不同学科里说法不一，侧重点不同, 恰似: “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。对于探索中的新兴科学，自然统一定义并不重要，重要的是揭示其复杂性的特点、表现形式与规律。目前能够一一对应映射复杂系统的定义本身也许就是复杂的。法国哲学家埃德加·莫兰是当代系统地提出复杂性方法的第一人，他的复杂性方法主要是用“多样性 统一”的概念模式来纠正经典科学的还原论的认识方法，用关于世界基本性质是有序性和无序性统一的观念来批判机械决定论，提出把认识对象加以背景化，反对在封闭系统中追求完满认识，主张整体和部分共同决定系统来修正传统系统观的单纯整体性原则。其主要复杂性思想可表述在他1973年发表的《迷失的范 式：人性研究》一书之中。1979年，比利时著名科学家普利高津首次提出了“复杂性科学”的概念。普利高津实质上是把复杂性科学作为经典科学的对立物和超越者提出来的。他在其名著《从混沌到有序》中说道：“在经典物理学中，基本的过程被认为是决定论的和可逆的。” 而今天，“物理科学正在从决定论的可逆过程走向随机的和不可逆的过程。” 普利高津紧紧抓住的核心问题就是经典物理学在它的静态的、简化的研究方式中从不考虑“时间”这个参量的作用,无视自然变化的“历史”性，是没有演化的科学。他所提出的关于复杂性理论就是不可逆过程的物理学的理论， 主要是揭示物质进化机制的耗散结构理论。普利高津说这个理论“研究了物理、化学中的导致复杂过程的自组织现象”。因此，我们可以认为普利高津所说的“复杂性 ”意味着不可逆的进化的物理过程所包含的那些现象的总体：在热力学分岔点出现的多种发展可能性和不确定性，动态有序结构的不断增长和多样化等等。1984 年美国圣塔菲研究所成立，它接过了“复杂性科学”的旗帜，由于它实力雄厚，现在被视为世界复杂性问题研究的中枢。圣塔菲研究所的学术领头人、诺贝尔物理奖获得者盖尔曼在其著作《夸克与美洲豹》中如此提及圣塔菲研究所的研究宗旨：“现代科学的一个重大挑战是沿着阶梯从基本粒子物理学和宇宙学到复杂系统领域，探索兼具简单性与复杂性、规律性与随机性、有序与无序的混合性事件。” 圣塔菲研究所的研究对象是复杂适应系统，它提出“适应性造就复杂性”，表明它主要研究能够学习的系统在适应环境的过程中涉及自身所发生的结构,以及行为方式从简单到复杂的演变。复杂适应系统的共同特征是，它们能够通过处理信息从经验中提取有关客观世界的规律性的东西作为自己行为的参照，并通过实践活动中的反馈来改进对世界规律性的认识，从而改善自己的行为方式。这反映了生物、社会等高级系统的能动的自组织的机制。

值得提出的是，我国最早明确提出探索复杂性巨系统的是著名科学家钱学森，他在20世纪80年代复杂性研究刚刚兴起的时候，就提出开放的“复杂巨系统”的概念，其中系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合成的、具有特定功能的有机整体；如果组成系统的子系统种类很多并有层次结构，它们之间关联关系又非常复杂，则称该系统为复杂巨系统；如果这个系统又是开放的，则称之为开放的复杂巨系统。开放的复杂巨系统主要特征表现在：(1)由巨量的节点或子系统组成, 并有多种层次结构；(2)系统是开放的，受外界影响，与外界环境有物质、能量和信息的交换；(3)在特定条件下，节点/子系统之间产生相互作用；(4)节点/子系统之间的相互作用和系统之间存在复杂的非线性关系。例如：人体系统、生态系统和社会系统、等，这些可视为复杂巨系统，这些巨系统无论在结构、功能、行为和演化方面都是很复杂的，故统称其具有复杂性。

复杂性科学就是运用非还原论方法研究复杂系统产生复杂性的机理及其演化规律的科学^[5-6]，它最强调的是关联。还原论指的是采取研究单一个体的方法，例如核物理的研究，是以原子核为对象。而对于复杂系统，不能只研究单一个体，还需要对总体系统进行动态整合研究，例如金融股市中除了要单个股票进行了解外，还得分析总体股市大盘的趋势。复杂性科学打破了线性、均衡、简单还原的传统范式，而致力于研究非线性、非均衡和关联带来的种种新问题。复杂系统的复杂性有几种具体表现形式，如非线性、混沌、分形、激发孤立子、突变、模糊性等。这些已经在二十世纪展开了许多研究，形成了相应的几门复杂性科学的分支学科，并取得了一批有意义的成果，例如复杂系统常常具有自组织现象，而自组织临界性可导致系统发生突变；个体(节点)的简单动力学规则可能导致复杂的整体行为，即涌现，因此整体不等于个体之和，这就是说整体可能大于或小于总体之和；混沌的发现说明了长期演化后复杂系统(如天气预报)的不可预见性（这是因为混沌在确定性的动力学系统里产生了内在随机性）；至于孤立子的概念，极大地影响了量子场论之后的新理论的构建，往往被认为高深部分的主题。例如人们往往在超弦理论专著的最后几章可以发现引入孤立子的概念（Michio Kaku, 1999），等。

实际上，复杂网络是反映复杂系统的一种网络形式，它是从复杂系统中高度抽象出来的框架性表示，是对复杂系统相互作用的一种本质抽象，并且逐渐形成为一门科学---网络科学。网络科学，是专门研究自然和社会中复杂系统的定性和定量规律的一门广泛交叉的科学，它以复杂网络为研究对象，研究复杂网络的各种拓扑结构及其性质，网络的动力学特性或系统功能，及其两者之间相互内在关系，探索复杂网络系统的各种涌现现象(突变行为)、动力学(信息反馈)等的物理机制，研究复杂网络上的各种动力学行为和信息的传播、预测(搜索)与控制，以及实际工程和社会所需的网络设计及其各种应用。

现实世界中很多自然、社会系统都可以用复杂网络来描述。在某种意义上，世上万事万物都可以用网络来模拟。很多老的问题或传统学科现在用复杂网络的观点来建模处理和重新认识，很可能产生意料不到的惊人新成果。问题是合适的程度的“度”在哪里？大、中、小尺度？随着研究的深入，不同层次和尺度的发展网络规律必将被揭示。不管怎样，网络科学的概念和模型具有极大的普适性确是毫无疑义的。通常网络由一些基本单元(通常称之为节点, node)和它们之间的连接(通常称之为边, edge)所组成。例如，Internet是节点为路由器、边是路由器之间的物理通讯线路所组成的网络(G. Siganos, M. Faloutsos, 1999)；万维网(WWW)是由网页之间的超链接组成的网络(R. Albert, H. Jeong, A. Barabsi, 1999)；脑是由神经元组成的网络(L. Lago-Fern Ndezl, R. Huerta, F. Corbacho, et al. 2000)；还有诸如:不同物种之间的捕食关系(J. Camacho, R. Guimer, L. A. Nunes Amaral, 2002）；语言中词与词之间的语义联系(R. Cancho, R. SOL, 2001)；科研文章之间的引用关系(S. Redner, 1998)；科学家之间的合作关系(J. Newmanme, 2001; M. Newman, 2001 )；人们之间通过电话建立的通话网络联系(G. Pallla, A.  Barabasi, T. Vicsek, 2007)；以及化学反应之间的网络(H. Jeong, B. Tombor, R. Albert, et al. 2000)，等等。这些网络的复杂性来自于网络的结构复杂性、连接复杂性、演化复杂性和隐含相互作用复杂性等多种关联因素。

网络科学模型和处理方法，其中统计物理方法在其中发挥了重要作用，它是刻画和研究复杂系统的结构和行为的关键，近年来，它迅速成为了科学界的一个研究热点，与之相关的基础和应用研究已经渗透到许多学科之中，在信息通信、网络搜索、信号传输、传染病传播与控制、网络中心战，以及社会学中对突发事件的预报和处理等方面都具有重要的意义（Li Menghui, Wang Dahui, Fan Ying, Di Zengru and Wu Jinshan, 2006， 2007；M. E. J. Newman, 2004; Potts J. Reichardt, S. Bornholdt, 2004）。

事实上，网络首先是得益于图论和拓扑学等应用数学方法的发展。历史上，多位杰出数学家各自独立地建立和研究过图论，他们的贡献功不可没。早在二百多年前，关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题具有很强的实际背景。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

首先，图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是东普鲁士的首都，今俄罗斯加里宁格勒市，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单却很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，然而无数次的尝试都没有成功。谁也没有做到，看来要得到一个明确、理想的答案决非那么容易。1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉证明了这个问题没有解，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。欧拉图的研究开创了“图论”这门新的数学分支，因此，这是第一代科学家对网络的开创性贡献，于是欧拉被誉为图论之父。

网络科学研究的另外一个具有里程碑贡献的是ER随机图模型，它的数学理论研究开始于1960年前后，由当时著名的数学家Paul Erdös和Alfred Rényi (J. Duch, A. Arenas, Phys. Rev. E 72 2005)提出。在随机图论出现之前，图论的工作主要是解决单个图的性质；而随机图论把图论和概率论结合，并考虑了大量统计性质结果。

此后将近40年里由于缺乏有关大型网络详细的拓扑信息，ER随机图论一直是研究网络科学的基本模型(Fan Ying, Li Menghui, Zhang Peng, Wu Jinshan, Di Zengru, 2007)。但是近年来，随着大型和快速计算能力的日益提高，世界上已逐渐建立起了一些有关大型网络科学拓扑结构的数据库，进而激发起了人们从理论、仿真和实际数据验证三方面研究网络科学的浓厚兴趣(Fan Ying, Li Menghui, Zhang Peng, Wu Jinshan, Di Zengru, Physica A 378 (2007))。不同学科之间的相互交叉和融合趋势在不断加强，使得人们有能力在对各种不同类型网络的数据分析的基础上，揭示复杂网络的一些共有的特征和性质。网络科学的兴起促使人们开始用网络理论去研究复杂网络的拓扑结构、产生机理以及动力学行为。很快，复杂网络受到了不同学科的广泛关注，在千禧之交取得了突破性进展，其标志是两项开创性发现：小世界(small world)和无标度(scale-free)，由此诞生了网络科学，在全世界掀起了网络科学研究的热潮，

1998年Watts和Strogatz^[25]在Nature上发表文章，利用WS模型引入了小世界这个概念。在现实生活中，小世界现象非常普遍。“海内存知己，天涯若比邻”，经常两个陌生人遇到后通过交谈发现他们之间竟然有共同的朋友，这时人们通常会惊呼道：“世界真小！”实际上，在社会网络中每个人都是通过一条很短的关系链连接着。小世界模型描述了从完全规则网络到完全随机网络的转变。定义节点的度为该节点和网络中其它节点所连接的边数。ER随机模型和WS小世界模型一个共同特性就是网络的连接度分布在平均值处有一个峰值，然后呈指数下降，这种网络称为“指数网络”。指数网络本质上是均匀网络：所有的点都有几乎相同数目的连接边。另外一个开创性工作是1999年Barabási和Albert^[26]在Science上发表的文章，指出许多现实世界中的网络科学连接度分布具有某种幂指数的形式，称为无标度网络。无标度网络的度分布却是不均匀的：大部分的点有很少连接而小部分的点连接度很高。

网络科学的上述二大发现，以及随后许多真实网络的实证研究表明，真实世界网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是兼具小世界和无标度特性，具有与规则网络和随机图完全不同的统计特性。不仅如此，两项开创性工作还给出了两种网络模型：小世界WS网络模型^[25]和无标度BA网络模型^[26]，来解释绝大多数现实网络都具有小世界现象，无标度行为，群聚性的特性。这在全世界学术界激起了千重浪，复杂网络文章铺天盖地，网络科学的综述和专著不断涌现（S. N. Dorogovtsev, J. F. F. Mends, 2001; R. Albert, A-L. Barabasi, 2002; 汪小帆, 李翔, 陈关荣. 复杂网络理论及其应用 [J]. 清华大学出版社），涉及到从物理学到生物学，从社会科学到技术网络，从工程技术到经济管理等众多领域。人们把复杂网络不依赖于节点的具体位置和连线的具体形态所表现出来的性质称为网络的拓扑性质，相应的结构叫网络的拓扑结构。实证数据表明，绝大多数现实网络都具有小世界现象，无标度行为，群聚性等特性。为了解释拓扑特征，从而引发了人们对现实世界复杂网络的研究热潮，导致网络科学的理论及其应用这一前沿的交叉性科学在十年来获得了迅速发展，吸引了许多不同学科领域（如物理学、社会学、生物学、计算机和数学等）的学者进入研究行列中。

网络科学主要用来研究复杂系统中抽象出的复杂网络的定性和定量的规律。许多现实网络不但具有许多复杂系统的结构形态，还可直接作为系统结构拓扑特性的模型，目前已利用网络科学的相关理论，特别是统计物理对这些现实网络进行了统计研究。具有各种网络特征的复杂系统与日常生活密切相关，这就需要深入研究和更深刻的理解这些复杂网络的拓扑结构、演化过程、动力学行为及其机制等，以便更好地设计和控制这些实际的复杂网络。无标度、小世界网络模型揭示了几乎所有复杂系统的网络结构都具有一种深层次的基本秩序，显示了网络建模的规范，启示网络建模能够捕捉网络形成的动态特性，能够准确获得各种微观机制对网络最终结构的影响，发现网络演化的规律，从而达到认识现实系统的目的。另外，网络建模对人们掌握网络功能与动力学关系有着重要的作用，对真实网络的结构与性能设计、以及安全保护等具有重要的理论指导意义。目前，复杂网络的建模研究一直是现在仍然是学术界广泛关注的一个热点方向。复杂网络大体有以下几种类型：

 (1) 社会网络是人或人的群体的集合，这些人之间具有某一接触或相互作用模式。许多社会网络被广泛进行了研究，其中科学家合作网是一个有趣的例子，可以更好地理解科学家之间合作规律的社会机理；网络传播研究传染病(A. Barabasi, R. Crandall, 2003; M. Weeks, S. Clair, S. Borgatti, et al. 2002)在人群中的传播(通过性接触、吸毒者共用针管等)，在某些情况下(如HBV和HIV)，在网络连接的分析中通过对高危地区的检测有助于提出预防和控制疾病的措施；通过博弈模型(Y. Tu, A. Sousa, L. Kong, et al. 2005; P. Resnick, H. Varian, 1997)的研究，可以解读人类合作行为的涌现；讨论网络上的舆论传播的多种意见动力学模型，该研究将有助于了解和理解一些国家的民意、政府决策和政治选举等问题。

(2) 信息网络，也称为“知识网络”，经典之例是学术论文之间的引文网络。其很大优势在于可获得丰富且准确的数据，由于大部分学术论文都经由相关主题的其它文章来引用以前做的工作，网络中没有环状结构；而对于万维网，包含由超链接连接各种信息的网页，可以有循环结构；通过比较个体偏好和其他人偏好的基础上预测新的喜好和厌恶，称为偏好网络(J. Schafer, J. Konstan, J. Riedi, 1999)，已被许多电子交友网站等广泛采用。

(3) 技术网络，也称为人造网络，其设计的典型目的是分配一些商品或资源，广泛存在于世界性与全国性的一些基础设施，如因特网、交通网络(P. Sen, S. Dasgupta, A. Chatterjee, et al. 2002)、电力网、电话呼叫网络、强流束晕网络等，各种输运过程中的流量可以自然的转化为权重。其中信息资源的传播与日常生活紧密相连，它的高效处理和传送成为最重要的实际问题之一。随着物理网络和用户的数量的连续增长，理解这些网络形成的根本机制并开发设计成本最小效率最高的网络模型，具有十分重大的意义。

(4) 生物和医学复杂网络，如神经网络、化学反应之间的网络、分子成分之间的相互作用网(L. Hartwell, J. Hopfield, S. Leibler, et al. 1999) 和新陈代谢网络(D. Fell, A. Wagner, 2000)。现代生物学不但可以解释单个细胞成分的功能，而且可以解释这些成分怎样通过相互作用的复杂网络互相连接而形成活细胞的功能。在细胞网络、基因相互作用网络、蛋白质网络以及其他的细胞分子调控行为中，拓扑结构起着重要作用，节点之间相互作用强度也具有非常关键作用。该领域建有许多数据库以供研究使用，具体可参阅文献。另外，近年来，科学而系统的研究人类的行为已然成为另一个热点领域(T. Zhou, X. P. Han, B. H. Wang, 2008)。

从上面介绍不难看出，网络科学取得突破性进展一直首先来源于网络模型的研究，理论建模之后，能不能有合适的数学物理方法特别是统计物理方法来求解问题，也一直是网络科学研究最重要和最富挑战性的课题之一。Barabási和Albert通过追踪万维网的动态演化过程，发现了许多复杂网络具有大规模的高度自组织特性，形成无标度特性的主要机制是网络增长和随机择优连接二条规则，而且随机择优（偏好）是产生无标度特性的最重要的机制。然而，随着网络研究的深入，考察现实世界的许多网络越来越发现：现实世界中实际网络节点之间相互作用并非相同，重要性和影响程度各异，实际网络几乎都是有权网络，因此，不仅需要研究无权网络，而且更重要的是必须研究有权网络，才能更好地捕捉和揭示真实网络上动力学特征与拓扑结构之间的联系，以及权重变化对网络特性的影响。

此外，无论是随机择优的BA模型还是其它网络模型，都属于广义随机模型，主要利用随机性来构建网络；许多学者根据层次迭代关系提出网络模型，从确定性的角度构建网络。但是现实生活中随机性和确定性是共存于复杂系统中，例如科学家合作网络，一个作者和本单位的其它学者之间有确定的合作关系；同时通过学术交流等活动，根据具体工作内容，可能随机性地与外单位学者有暂时的合作。如何较好地在网络模型中把随机性和确定性两种截然不同的方式结合起来，显然是有意义的。

迄今，开创网络科学新局面的两大支柱性理论（图论和统计物理）已经运行了十年多了，在最初的新奇发现之后，网络科学发现网络的世界越来越复杂，“庐山真面目”远未揭开。为了进一步推进网络科学的基本理论，特别是建立统一的理论体系，这类网络科学的前沿课题，任务越来越艰巨。十二年前的今天人们激动地谈论无标度和小世界，如果现在仍然谈论无标度特性和小世界效应，是不是多少有点老生常谈了？自然会提出一个重要的想法，是不是该考虑建立在图论和统计物理之上的网络科学的理论基础进行更新升级的时候了？！这是因为复杂网络是由大量的节点（子系统）所组成，具有组织结构和时空演化的复杂性，复杂网络本身一般具有非线性、非平衡性、混合性（确定与随机）、开放性和不可逆性等特点。迄今还缺乏对复杂网络的非平衡态进行全面深入的研究，目前大多数工作只停留在平衡态的统计物理分析，这对于揭示复杂网络的实际演化过程和内在深层次的规律及其发展机制等问题相去甚远，显然目前理论已远不能适应当前和今后继续发展的需要了，因此，创新非平衡统计物理的方法是一个紧迫的任务，它事关继续推进网络科学未来的发展的一个大方向问题。

 　 追述统计物理的发展历程，J.W. 吉布斯把整个系统作为统计的个体 ，提出研究大量系统构成的系综在相宇中的分布，克服了气体动理论的困难，建立了平衡态统计物理系综理论。他提出在平衡态统计理论中，对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综；对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正则系综。平衡态系综理论取得了巨大的成功，成为现代物理的重要基础之一。

       目前，非平衡态统计物理研究远未发展为成熟的学科。尽管非平衡态分布函数及其演化方程的建立，不仅成为输运过程微观统计理论的基础 ，而且由它定义的H函数及其遵循的 H 定理对理解宏观过程的不可逆性及趋于平衡的过程起过重要作用。熵增加原理的微观统计解释表明统计理论已从平衡态向非平衡态发展，已经从对某些宏观概念和规律的微观统计解释发展到对热力学第二定律这样的普遍规律作出微观统计解释，并对离平衡不太远，而经历各种输运过程系统的线性输运系数、涨落等平衡态附近的非平衡过程现象的研究中，取得了许多有意义的结果。

20世纪60年代以后国际上出现了著名的三论：耗散结构理论，协同学和突变理论。1969年，比利时普利高津为首的布鲁塞尔学派，研究远离平衡状态开放系统时提出非平衡热力学和统计物理学中的耗散结构理论，用来研究远离平衡态的开放系统从无序到有序的演化规律。1973年以后，原西德理论物理学家赫尔曼 . 哈肯发现不同系统之间共同存在着同一系统的要素之间的协同现象，创立了协同论。1972年法国数学家勒内·托姆勒内·托姆提出突变论:《结构稳定性和形态发生学》。在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突变和跃迁现象，如地震、海啸、战争、经济危机等。突变论可用来认识和预测复杂系统/复杂网络的突发行为。

随后，非线性科学及其混沌理论、复杂性科学的兴起，犹如春风吹遍五洲四海，非常强劲地影响着当今和未来的科学研究和发展，当然也为网络科学提供了极其重要的理论基础。

上述理论对非平衡统计物理的发展起到了很大的推动作用，这些理论方法与众多科学达到了广泛的交叉融合。值得提及的是远离平衡的突变，有序结构的出现的耗散结构理论。它是由比利时布鲁塞尔学派著名的统计物理学家普利高津建立的，用来研究远离平衡态的开放系统从无序到有序的演化规律。

      耗散结构是指处在远离平衡态的复杂系统在外界能量流或物质流的维持下，通过自组织形成的一种新的有序结构。“耗散”一词起源于拉丁文，强调与外界有能量和物质交流这一特性。耗散结构是普利高津于1969年在理论物理和生物学国际会议上提出的一个概念。这是普利高津学派20多年从事非平衡热力学和非平衡统计物理学研究的成果。1971年普利高津等人写成著作《结构、稳定和涨落的热力学理论》，比较详细地阐明了耗散结构的热力学理论，并将它应用到流体力学。化学和生物学等方面，引起了人们的重视。1971～1977年耗散结构理论的研究有了进一步的发展。这包括用非线性数学对分岔的讨论，从随机过程的角度说明涨落和耗散结构的联系，以及耗散结构在化学和生物学等方面的应用。1977年普利高津等人所著《非平衡系统中的自组织》一书就是这些成果的总结。

       耗散结构理论之后，研究又有了新的发展，主要是用非平衡统计方法，考察耗散结构形成的过程和机制，讨论非线性系统的特性和规律，以及耗散结构理论在社会经济系统等方面的应用等。耗散结构理论把复杂系统的自组织问题当作一个新方向来研究。在复杂系统的自组织问题上，人们发现有序程度的增加随着所研究对象的进化过程而变得复杂起来，会产生各种变异。针对进化过程时间方向不可逆问题，借助于热力学和统计物理学用耗散结构理论研究一般复杂系统，提出非平衡是有序的起源，并以此作为基本出发点，在决定性和随机性两方面建立了相应的理论。

       然而一个重要的物理悖论经常在布鲁塞尔学派中流传：基本的动力学规律，牛顿、薛定谔和爱因斯坦方程的时间可逆性同热力学第二定律所指出的时间不可逆方向是矛盾的。可逆性和不可逆性的矛盾表现为对系统微观动力学表述的时间可逆性和宏观热力学描述的不可逆性矛盾。

       从1988-2003，布鲁塞尔学派发展了子动力学理论和扩张函数空间的理论，试图从量子统计的基础上来协调热力学第二定律同量子力学的矛盾。

       在这里我们愿意提到另外一种不同的观点：量子力学的基本方程描述的是单个粒子的运动，与热现象没有关系，因此量子力学的基本方程同同热力学第二定律不可逆性没有矛盾。这种观点忘记了，量子统计的基本方程Liouville方程就是对密度算子求导，然后代入薛定谔方程而获得的。没有薛定谔方程，量子Liouville方程是不可能成立的。

       子动力学的框架是由普利高津和和他的一位合作者C. Geoge于1970年左右提出的。从70年到2003年布鲁塞尔学派在完善和发展子动力学理论方面作了很多工作，发表了大量文章。大量文章涉及到利用子动力学理论求解、分析Liouville方程复本征谱的表达以及相联的Hilbert或Liouville空间扩张的理论。子动力学是布鲁塞尔学派90年代后期的主要理论武器(毕桥，子动力学理论及其在复杂系统中的应用，武汉工业大学出版社，1999)。

      子动力学作为一种广义的统计物理投影算子理论在过去的十几年中取得了重要进展。在混沌映射的演化算子谱分析方面，在量子Friedrichs 系统方面，在大规模Poincare系统方面Liouville算子复本征谱的分析方面都取得了成功，揭示了系统不可逆和复杂性的特性。

1997至2010，本书第一作者建立了多种子动力学基本方程，引进了建立在子动力学基本方程上的投影格林函数，非线性投影格林函数，并发展了非微挠求解Hamiltonian和Liouville算子本征谱的方法。成功的把子动力学和所发展的理论应用于量子信息抗消相干、纳米系统、有关传输特性，量子网络或纳米网络的构造和特性分析上(Bi Qiao, H.E. Ruda, Z.D. Zhou, Fang Jingqing, Physica A 2006)。

在过去30多年里，特别在上世纪七、八十年代，中国科学界很重视非平衡统计物理及其应用的研究，学术活动相当活跃，当时引人关注的有：非线性科学与混沌学、伊.普利高津(I. Prigogine)的耗散结构理论、赫尔曼 . 哈肯的协同学和法国数学家勒内·托姆勒内·托姆的“突变论”，有关这些新兴学科的全国学术会议盛况不亚于当今的网络科学会议。我国在相变、非平衡统计和耗散结构理论等方面，开展了大量研究工作，并取得了长足的进展，出现一些在国内外颇有影响的工作：1978～1990年，中国科学院理论物理所周光召、苏肇冰、郝柏林等完成了“关于非平衡量子统计的闭路格林函数研究”，对60年代由Schwinger建议的闭路格林函数理论框架做了系统分析，提出了一套有效的理论表述方案，并应用于临界动力学、非线性量子输运、淬火无序系统、激光、等离子体等问题中，得到了一些新的结果。反映在郝柏林和于渌等编著的“统计物理学进展”之中。郝柏林还建立了实用符号动力学，对混沌理论作出了贡献。在1980～1986年，北京师范大学黄祖洽与丁鄂江完成了“玻耳兹曼方程的奇异扰动解法”。他们用奇异扰动方法消去玻耳兹曼方程求解中的久期项，解决了历史上长期无法讨论的长时间弛豫行为和远离平衡态的气体的弛豫问题。1978～1983年，北京师范大学方福康首先将I.Prigogine的耗散结构理论介绍到国内，得到了非线性系统随机求近似的一般处理方法。并将非平衡系统理论推广到研究复杂系统一般演化机制的领域，并应用于社会经济系统，形成了独特新颖的研究方向。1987年中国科学院等离子研究所的霍裕平首先出版了“非平衡态统计理论”一书, 对非平衡统计许多问题提出了新的建议和思路。

  然而，非平衡态统计物理目前仍处于发展阶段。自然界所有实际宏观热力学过程都是有方向性的或不可逆的，而经典力学和量子力学所反映的物理规律都是可逆的, 因而在建立非平衡态统计物理时, 首先面临的难题就是不可逆性佯缪，正如布比利时鲁塞尔学派中流传的物理悖论一样， 其表现为：微观动力学是可逆的而宏观过程却是不可逆的。这个矛盾自玻尔兹曼以来一直困扰着很多物理学家。它在现有统计物理中的具体表现为时间反演对称的Liouville 方程，长期被认为是统计物理基本方程，它与平衡态统计物理中微正则、正则和巨正则3 个统计系综分布函数是协调的，可用它来计算平衡态的熵。但当用它来推算和解释非平衡态宏观系统的不可逆性熵增加定律和流体力学方程等时，若不补充任何假设，总不能给出正确结果，甚至根本不可能简洁统一严格地给出各种正确结果。人们不禁要问：能否建立起包括平衡态在内的严格统一的非平衡态系综理论? 若能，这个基本的理论是什么形式？由它又能对复杂网络推导出什么新结果？如何理解复杂网络不可逆性的特点？微观网络演化和自组织规律又是什么？

      我们前期的工作使我们相信，建立在广义函数空间的子动力学理论，有可能发展成为一种广义投影算子、非平衡系综、非平衡格林函数组合的统一方法，尽管还不能说它在解决上面不可逆性佯缪和网络的复杂性方面做出多大的工作，但对于丰富和发展非平衡统计物理的方法来说，却是肯定的。 这也是这本书设立的主要目标之一。

      在理论的应用方面，本书将重点考虑我们的理论在复杂网络和微观网络中应用。我们这里所提的微观网络的概念是指微米、纳米和量子网络。我们对这类问题的重视是基于以下的背景：随着复杂网络的研究，还有纳米技术，取得了突飞猛进，计算机互联网和万维网已成为当今世界上两个最大的复杂网络，风糜全球，海量信息神速交流，应用范围急剧扩大，人类生活因此发生了翻天覆地的变化。网络世界已经成为信息时代生活中不可缺少的一部分。网络科学的研究从自然科学到社会科学，从生命体的新陈代谢到各种技术网，无处不在，网络充满了整个世界。以至量子网络通信、量子互联网和量子计算机也成为研究热点。

2002年，物理学家Albert 和Barabasi首先在美国著名的“现代物理评论”(Reviw of Modern Physics )上发表了题为“复杂网络的统计力学”的长篇综述，既系统地评述了复杂网络的研究进展，又精辟介绍了统计物理的主要理论和方法在网络科学中的应用， 特别是关于网络拓扑特性及动力学的统计力学研究所取得的成果和重要进展。文章阐明了目前网络科学研究涉及到统计物理中的主要方面有：主方程、Forkker-Plank方程、平均场方法、自组织理论、临界和相变理论、熵的概念、以及渗流理论等。接着，2002年Dorogovtsev与Mendes 评述了网络演化问题^[51]。2003年Newman对复杂网络的结构与功能的研究进展作了系统的综述^[52,53]。2004年Park 和Newman 进一步把统计系综推广应用于复杂网络的平衡态研究联系，结合我们的思想可以沟画一种理论框架，请参看第1章中图1- 5示出了复杂网络的平衡态统计方法的理论框架和基本路线图，这为进一步拓广到非平衡态网络理论提供了研究基础。

进一步，Barabosi 还把Bose-Eintein凝聚现象与复杂网络研究进行了类比研究，给人以启发，量子系统可以是网点自组织成一个复杂网络，网络的拓扑和演化充分反映网络的动力学性质。但是，目前从上述网络科学的新发现角度出发，来探索量子微观世界的网络特性与上述关系，特别是，研究微观网络的拓扑特性和动力学性质的一般普适关系及其可能在纳米传感器、量子信息和量子时空网络演化中的应用方面的著作还很少。为此，本书另一个目标是坚持用统计物理的方法来探索微观网络的一般普适关系，希望发现微观网络的基本网络规律。我们的应用主要集中在自己多年有积累的研究方向上：（1）一般微观网络的构造和基本规律研究；（2）量子网络的控制和抗消相干问题；（3）纳米相干网络的拓扑特性和动力学性质及其在纳米传感器中的应用；（4）时空量子网络在量子引力和宇宙演化中应用。

这些问题的重要性在于微观网络的构造和基本规律研究涉及了对量子信息网络、纳米网络结构和规律的研究，这无疑对量子信息的发展和寻找新型的微纳米器件是极为有帮助的。其次研究量子网络抗消相干问题，应该是量子信息网络（包括量子计算和量子通讯）、量子互联网能否成功的一个重要应用基础问题。目前在量子抗消相干问题上各国学者已提出一些理论，例如量子抗消相干的子空间的理论，其主要代表人物是美国南加州大学(原加拿大多伦多大学)的Daniel Lidar和他的导师等。其理论的要点是当量子信息系统在外部环境的影响下出现量子消相干时，人们总可以（近视地）找到局部的子空间或子系统，它们是无消相干的。我们前期工作也曾提出过子动力学空间的抗消相干理论，在一些国际核心刊物上发表了文章(Bi Qiao, X. S. Xing, and H. E. Ruda, Physica A, 2003-2005)。但是微观网络的量子抗消相干性有什么特点呢？如何通过外场（或外部网络）的控制来实现抗消相干呢？这些都同开放体系的量子统计理论的发展有关，是有意义的问题，需要研究。第三，纳米相干网络是作者近年来提出的一个新观念，我们曾经提出进一步研究纳米相干网络的理论，并与有关单位合作进行一定的实验及可能应用的研究。纳米相干网络是用纳米线组成不同几何形状的纳米网络，纳米网络中通电流，同外光场或电磁场相互作用后，其输出电流大小变化很敏感地受相干因子的影响。这使纳米相干网络可做成微、纳米传感器来探测光场或电磁场的存在。由于该网络中的纳米线是在纳米级别上，所以做成微、纳米传感器的灵敏度可能比较高。

最后，关于量子spin时空网络的演化， 同量子引力、量子宇宙论的发展有重要关系。根据圈量子引力的理论的基本精神，时空就是引力场，时空在普朗克尺度上是量子化的。形成由体积量子作为节点，通过面积量子联接相邻体积量子的时空网络。时空网络的基可用spin网络表示。物理的时空可用spin网络作为基展开而得。spin网络的演化可通过计算spinfoam来研究。Spinfoam是圈量子引力的理论基于费曼传播子研究spin网络演化的主要方法。目前流行的研究复杂网络的理论方法还有待与时空网络建立联系，该课题极具挑战性。我们曾经试图另辟新径，提出一个利用玻色和费米量子网络的方法来研究时空网络的凝聚和演化特性的框架。考虑时空网络的联接的量子特征，我们引入了节点度算子的概念，并通过扩展Bianconi和Barabaisi文献中^[59]的复杂量子网络演化方程为算子方程，从而求解出度算子的演化解。这个解是与时空网络的哈密顿量相关，进而与网络节点的能量分布有关。表现为能量分布巨大，时空网络弯曲巨大，可能形成时空网络在高能量节点凝结。例如在黑洞情况下，能量分布同量子面积有关，这样度算子的演化解的本征值可以同面积量子数有关，其本征态恰好是spin网络态。由此是不是揭示时空网络节点度分布是量子化的，可能形成时空网络凝结？因此会不会黑洞就是一种时空网络凝结，而且可能存在更广泛的时空网络凝结，例如宇宙奇点（big bang）？这使微观网络的研究同自然界的本质联系起来了，有可能开辟微观网络研究的一个新的发展方向。

     综上所述，网络科学和统计物理的论题广泛，主题突出，从天到地，从宏观到介观，微观，乃之宇观，研究的跨度很大，但在这些跨度十分不同领域，需要探索它们的若干特点、彼此的内在联系和可能存在的普适规律。这种内在逻辑的一致性，可以使本书不仅能够分别提供一些明确的研究结果，而且使本书具有前瞻性和应用前景，令人感兴趣和使我们值得问我们的一个问题是：世界是不是统一于网络？如何深刻揭开统一世界不同层次的巨网络及其“网络的网络”的奥秘？从而真正造福于全人类。

      本书共分为三大部分共30章。第一部分是描述网络科学和统计物理的主要概念、基础理论和它们之间的联系。第二部分是关于宏观网络的若干研究进展，主要介绍我们课题的研究成果，包括：统一混合网络理论体系，广义Farey树网络及其金字塔，小世界和无标度束流传输网络，确定性网络，大脑网络以及若干其他前沿与重要课题。第三部分介绍微观网络和非平衡统计物理的若干进展，着重讨论了关联动力学的新进展，量子信息网络，纳米网络和非平衡系综理论。稍作说明的是，由于突出课题内容的缘故，本书章节长短呈现了参差不齐的特点，这似乎与书中关心的非平衡问题恰好相映成趣，还望读者心领神会。本书每章结尾文附有主要参考书籍及其说明，并不一定用序号列在该章里。章节中其余剩下的所引用的书目和文献都在本书末尾专门列出。

值此本书完成之际，谨向多年来给予我们课题关心、合作和帮助的同行朋友们表示衷心的感谢！（以下省略）